ĐẠO HÀM

ĐẠO HÀM

1. Đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), x₀ ∈ (a;b).

Định nghĩa 1. Với mỗi $x \in R$, nếu hiệu $x – {x_0} = \Delta x \ne 0$ thì  ∆x được gọi là số gia của x₀ tại điểm x₀.

Định nghĩa 2. Với mỗi số gia $\Delta x \ne 0$, gọi $\Delta y = f(x) – f({x_0}) = f({x_0} + \Delta x) – f({x_0})$ là số gia của của hàm số ứng với ∆x tại x₀ .

Định nghĩa 3. Giới hạn hữu hạn (nếu có) $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại  x₀, kí hiệu là f'( x₀) hay y'( x₀).

Như vậy:  $f'({x_0})$=$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ =  $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f({x_0} + \Delta x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}$.

2. Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Ví dụ 1. Cho $y = {x^2}$. Tính $y'(2)$.

Phương pháp 1. Phương pháp tính trực tiếp theo ∆x; ∆y.

Giải

Ta có: $y'(2) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(2 + \Delta x) – f(2)}}{{\Delta x}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{{(2 + \Delta x)}^2} – {{(2)}^2}}}{{\Delta x}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{{(\Delta x)}^2} + 4\Delta x}}{{\Delta x}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} (\Delta x + 4) = 4$.

Phương pháp 2. Phương pháp tính theo quy tắc.

Bước 1. Cho ${x_0} = 2$ số gia ${\Delta x \ne 0}$.

Bước 2. Tính $\Delta y = f({x_0} + \Delta x) – f({x_0})$ = $f(2 + \Delta x) – f(2)$ = ${(2 + \Delta x)^2} – {(2)^2}$ = ${(\Delta x)^2} + 4\Delta x$.

Bước 3. Lập tỉ số $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{{{(\Delta x)}^2} + 4 \Delta x}}{{\Delta x }} = \Delta x + 4$.

Bước 4. Tính $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{{(\Delta x)}^2} + 4\Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} (\Delta x + 4) = 4$.

Vậy: $y'(2) = 4$

Phương pháp 3. Tính trực tiếp theo x, x₀ .

Ta có: $y'(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) – f(2)}}{{x – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} – {2^2}}}{{x – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} – 4}}{{x – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 2) = 4$.

3. Đạo hàm trên một khoảng, đoạn.

Định nghĩa 4: Hàm số y=f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a;b) nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng (a;b).

Định nghĩa 5. Giới hạn hữu hạn (nếu có)  

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} + } \frac{{f({x_0} + \Delta x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}$

được gọi là đạo hàm bên phải của hàm số đã cho tại  x₀ và kí hiệu là f'( x₀⁺) hay y'( x₀⁺).

Định nghĩa 6. Giới hạn hữu hạn (nếu có)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0-}} \frac{{f({x_0} + \Delta x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}$

 được gọi là đạo hàm bên trái của hàm số đã cho tại  x₀ và kí hiệu là f'( x₀^–) hay y'( x₀^–).

ĐỊNH LÍ

Hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại x₀ khi và chỉ khi $f'(x_0^ + ),f'(x_0^ – )$ tồn tại và bằng nhau. Khi đó, ta có:

$f'(x_0^ + ) = f'(x_0^ – ) = f'({x_0})$.

Định nghĩa 7. Hàm số $y=f(x)$ được gọi là có đạo hàm trên đoạn [a;b] nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

• Có đạo hàm tại mọi $x \in \left( {a,b} \right)$;
• Có đạo hàm bên phải tại a;
• Có đạo hàm bên tái tại b.

Chú ý: Đạo hàm trên nửa khoảng (a;b]; [a;b) định nghĩa tương tự.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xét sự tồn tại đạo hàm của hàm số sau trên R.

$f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2}}\\ { – x} \end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}} ;\\ ; \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge 0}\\ {x < 0} \end{array}$

Giải

• Với mọi $x \in \left( { – \infty ;0} \right)$:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^2} – x_0^2}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x + {x_0}} \right) = 2{x_0}$

Suy ra: Hàm số có đạo hàm trên khoảng $ \left( { – \infty ;0} \right)$ và $f'(x) = 2x$.

• Với mọi $x \in \left( { 0;+ \infty } \right)$:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( { – x} \right) – \left( { – {x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( { – {1_0}} \right) = – 1$

Suy ra: Hàm số có đạo hàm trên khoảng $ \left( {0; + \infty } \right)$ và $f'(x) = -1$.

• Tại ${x_0} = 0$

Ta có: $f’\left( {{0^ + }} \right) = $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) – f(0)}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( x \right) = 0$

$f’\left( {{0^ – }} \right) = $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{f(x) – f(0)}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{ – x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { – 1} \right) = – 1$

Suy ra: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x) = 0 \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = – 1$

Vậy: Hàm số không có đạo hàm tại x=0.

Phần sau: Khoảng đồng biến -Nghịch biến của hàm số