T9.ĐS.3.1.  GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I. Kiến thức cốt lõi

1. Phương pháp chung

Chọn ẩn số và xác định điều kiện của ẩn số (đơn vị tính). Ẩn số thường là đại lượng chưa biết trong bài toán. Việc chọn một ẩn số hay hai ẩn số tuỳ thuộc vào số đại lượng chưa biết trong bài toán

– Biểu diễn mối tương quan giữa đại lượng đã biết và đại lượng chưa biết

– Lập phương trình (hay hệ phương trình)

– Giải phương trình (hay hệ phương trình)

– Nhận định kết quả và trả lời

2. Kỹ năng

• Thành thạo giải phương trình bậc 1, 2.
• Thành thạo giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn.
• Thành thạo các kiến thức vật lý, toán học, sinh học.

II. Phân dạng bài tập

1. Các bài toán về chuyển động

Phương pháp chung:

•  Dựa vào quan hệ:   

S=vt ( trong đó: S là quãng đường; t: thời gian; v: vận tốc của vật chuyển động đều).

• Dựa vào nguyên lí cộng vận tốc: Gọi v₀ là vận tốc dòng nước; v₁ là vận tốc riêng của thuyền. khi đó:

• • Trường hợp 1. Gọi v là vận tốc của thuyền khi xuôi dòng thì v=v₁ + v₀.
  • Trường hợp 2. Gọi v là vận tốc của thuyền khi ngược dòng thì v=v₁ – v₀.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.

Quãng đường AB dài 270 km, hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến b, ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12 km/h nên đến trước ô tô thứ hai 42 phút . Tính vận tốc mỗi xe.

* Hướng dẫn giải:

– Trong bài này cần hướng dẫn học sinh xác định được vận tốc của mỗi xe. Từ đó xác định thời gian đi hết quãng đường của mỗi xe.

– Thời gian đi hết quãng đường của mỗi xe bằng quãng đường AB chia cho vận tốc của mỗi xe tương ứng.

– Xe thứ nhất chạy nhanh hơn nên thời gian đi của xe thứ hai trừ đi thời gian đi của xe thứ nhất bằng thời gian xe thứ nhất về sớm hơn xe thứ hai (42 phút = $\frac{7}{10}$ giờ)

* Lời giải:

Gọi vân tốc của xe thứ nhất là x (km/h, x > 12 ).

Thì vận tốc của xe thứ hai là; x – 12 (km/h ).

Thời gian đi hết quãng đường AB của xe thứ nhất là $\frac{270}{x}$(giờ).

Của xe thứ hai là $\frac{270}{x-12}$( giờ ).

Theo bài ra ta có phương trình:

$\frac{270}{x-12}-\frac{270}{x}=\frac{7}{10}$

$\Leftrightarrow $2700x – 2700.(x -12) = 7x.(x -12)

$\Leftrightarrow $ 7x² – 84x – 32400 = 0

Giải phương trình ta được  x$_{1}$$\approx $ 74,3;    x$_{2}$$\approx $ – 62,3 (loại)

Vậy, vận tốc của xe thứ nhất là 74,3km/h.

Vận tốc của xe thứ hai là 62,3km/h.

* Chú ý:

– Trong dạng toán chuyển động cần cho học sinh nhớ và nắm chắc mối quan hệ giữa các đại lượng: Quãng đường, vận tốc, thời gian (S = v.t). Do đó, khi giải nên chọn một trong ba đại lượng làm ẩn và điều kiện luôn dương. Xây dựng chương trình dựa vào bài toán cho.

– Cần lưu ý trong dạng toán chuyển động cũng có thể chia ra nhiều dạng và lưu ý:

+ Nếu chuyển động trên cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau

+ Nếu thời gian của chuyển động đến chậm hơn dự định thì cách lập phương trình như sau: Thời gian dự định đi với vận tốc ban đầu cộng thời gian đến chậm bằng thời gian thực đi trên đường. Nếu thời gian của dự định đến nhanh hơn dự định thì cách lập phương trình làm ngược lại phần trên.

– Nếu chuyển động trên một đoạn đường không đổi từ A đến B rồi từ B về A thì thời gian cả đi lẫn về bằng thời gian thực tế chuyển động.

– Nếu hai chuyển động ngược chiều nhau, sau một thời gian hai chuyển động gặp nhau thì có thể lập phương trình: S$_{1}$ + S$_{2}$ = S.

2. Dạng toán liên quan đến số học

Phương pháp:

– Với dạng toán liên quan đến số học cần cho học sinh hiểu được mối liên hệ giữa các đại lượng đặc biệt hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm…

Biểu diễn dưới dạng chính tắc của nó:    $\overline{ab}$ = 10a + b.

$\overline{abc}$ = 100a + 10b + c.

………………..

– Khi đổi chỗ các chữ số hàng trăm, chục, đơn vị ta cũng biểu diễn tương tự như vậy. Dựa vào đó ta đặt điều kiện ẩn số sao cho phù hợp.

Ví dụ minh họa:

Bài toán:  Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng . Nếu thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số thì được số lớn hơn số đã cho là 180. Tìm số đã cho.

Lời giải

Gọi chữ số hàng chục của chữ số đã cho là x , điều kiện 0 < x $\le$ 7 và x $\in$ N.

Thì chữ số hàng đơn vị của số đã cho là: 7 – x

Số đã cho có dạng:  $\overline {x.(7 – x)} $

Ta có: $\overline {x.(7 – x)} = {\rm{ }}10x{\rm{ }} + {\rm{ }}7{\rm{ }} – {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}9x{\rm{ }} + {\rm{ }}7$.

Theo giả thiết, Viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số mới có dạng : $\overline {x0(7 – x)} = {\rm{ }}100x{\rm{ }} + {\rm{ }}7{\rm{ }} – {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}99x{\rm{ }} + {\rm{ }}7$.

Khi đó ta có hệ phương trình:

( 99x + 7 ) – ( 9x + 7 ) = 180

$\Leftrightarrow $  90x    =  180

$\Leftrightarrow $ x    =   2     Thoả mãn điều kiện.

Suy ra: chữ số hàng chục là 2; chữ số hàng đơn vị là 7 – 2 = 5;

Vậy:  số phải tìm là 25.

3. Dạng toán về năng suất lao động

* Bài toán:  Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy. Trong tháng hai tổ một vượt mức 15%, tổ hai vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy, tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

Lời giải:

Gọi số chi tiết máy tổ 1 sản xuất trong tháng đầu là x (chi tiết )

Điều kiện x nguyên dương, x < 720

Khi đó tháng đầu tổ 2 sản xuất được: 720 – x ( chi tiết ).

Tháng 2 tổ một sản xuất vượt mức $\frac{15}{100}.x$ ( chi tiết ).

Tháng 2 tổ hai sản xuất vượt mức $\frac{12}{100}.(720-x)$ ( chi tiết ).

Số chi tiết máy tháng 2 cả  hai tổ vượt mức:

                                              819 – 720 = 99 ( chi tiết )

Theo bài ra ta có phương trình:

$\frac{15}{100}.x+\frac{12}{100}.(720-x)$ = 99

$\Leftrightarrow $ 15x + 8640 – 12x = 9900

$\Leftrightarrow $  3x = 9900 – 8640

$\Leftrightarrow $  3x = 1260

$\Leftrightarrow $    x = 420 (thoả mãn).

Vậy, trong tháng giêng tổ một sản xuất được 420 chi tiết máy, Tổ hai sản xuất được 720 – 420 = 300 chi tiết máy.

4. Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng

* Bài toán

Hai đội công nhân cùng sửa một con mương hết 24 ngày. Mỗi ngày phần việc làm được của đội 1 bằng 1 phần việc của đội 2 làm được. Nếu làm một mình, mỗi đội sẽ sửa xong con mương trong bao nhiêu ngày?

Hướng dẫn giải:

– Trong bài này ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị công việc và biểu thị bằng số 1.

– Số phần công việc trong một ngày  nhân với số ngày làm được là 1.

Lời giải:

Gọi số ngày một mình đội 2 phải làm để sửa xog con mương là x ( ngày)

Điều kiện  x > 0 .

Trong một ngày đội 2 làm được $\frac{1}{2}$ công việc.

Trong một ngày đội 1 làm được  1$\frac{1}{2}.\frac{1}{x}=\frac{3}{2x}$ (công việc ).

Trong một ngày cả hai đội làm được $\frac{1}{24}$ công việc.

Theo bài ra ta có phương trình:

$\frac{1}{x}+\frac{3}{2x}=\frac{1}{24}$

$ \Leftrightarrow $ 24 + 36 = x

$ \Leftrightarrow $ x = 60 thoả mãn điều kiện

Vậy, thời gian đội 2 làm một mình sửa xong con mương là 60 ngày.

Mỗi ngày đội 1 làm được $\frac{3}{2.60}=\frac{1}{40}$ công việc.

Để sửa xong con mương đội 1 làm một mình trong 40 ngày.

5.Dạng toán về tỉ lệ chia phần

Bài toán: Hợp tác xã Hồng Châu có hai kho thóc, kho thứ nhất hơn kho thứ hai 100 tấn. Nếu chuyển từ kho thứ nhất sang kho thứ hai 60 tấn thì lúc đó số thóc ở kho thứ nhất bằng$\frac{12}{13}$ số thóc ở kho thứ hai. Tính số thóc ở mỗi kho lúc đầu.

* Hướng dẫn giải:

Quá trình	Kho I	Kho II
Trước khi chuyển	x + 100 (tấn)	x (tấn ),  x > 0
Sau khi chuyển	x +100 – 60 (tấn )	x + 60 ( tấn )
Phương trình:   x + 100 – 60 = $\frac{12}{13}$. (x + 60 )

* Lời giải:

Gọi số thóc ở kho thứ hai lúc đầu là x (tấn ), x > 0.

Thì số thóc ở kho thứ nhất lúc đầu là x + 100 (tấn ).

Số thóc ở kho thứ nhất sau khi chuyển là x +100 -60 ( tấn ).

Số thóc ở kho thứ hai sau khi chuyển là x + 60 ( tấn ).

Theo bài ra ta có phương :     x + 100 – 60 = $\frac{12}{13}.(x+60)$

Giải phương trình tìm được: x = 200 thoả mãn điều kiện.

Vậy, kho thóc thứ hai lúc đầu có 200 tấn thóc

Kho thóc thứ nhất lúc đầu có 200 + 100 = 300 tấn thóc.

6. Dạng toán có liên quan đến hình học

Bài toán: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280 m. Người ta làm một lối đi xung quanh vườn ( thuộc đất của vườn ) rộng 2m, diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256 m². Tính kích thước của vườn.

* Hướng dẫn giải:

– Nhắc lại công thức tính chu vi và diện tích của hình chữ nhật.

– Vẽ hình minh hoạ để tìm lời giải.

* Lời giải:

Gọi độ dài một cạnh hình chữ nhật là x ( m ), điều kiện 4 < x < 140

Độ dài cạnh còn lại là: 140 – x (m ).

Khi làm lối đi xung quanh, độ dài các cạnh của phần đất trồng trọt là x – 4(m) và 140 – x – 4 = 136 – x (m).

Theo bài ra ta có phương trình:

( x – 4 ).( 136 – x ) = 4256

$\Leftrightarrow $ 140x – x²  – 544 = 4256

$\Leftrightarrow $  x² – 140x – 4800 = 0

Giải phương trình tìm được x$_{1}$ = 80;   x$_{2}$ = 60  (thoả mãn).

Vậy kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật là 60m và 80m.

7.Toán có nội dung vật lý, hoá học

Bài toán: Người ta hoà lẫn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có khối lượng nhỏ hơn nó 200kg/m³ để được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m³. Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng?

* Hướng dẫn giải:

– Để giải bài toán ta cần chú ý khối lượng riêng của mỗi chất được tính theo công thức:  D =  $\frac{m}{V}$ $\Rightarrow $ V = $\frac{m}{D}$

Trong đó:        m là khối lượng tính bằng kg

V là thể tích của vật tính bằng m³

D là khối lượng riêng tính bằng kg/m³

* Lời giải:

Gọi khối lượng riêng của chất thứ nhất là x (kg/m³), điều kiện x > 200

Thì khối lượng riêng của chất thứ hai là: x – 200  (kg/m³)

Thể tích của chất thứ nhất là: $\frac{0,008}{x}$ (m³)

Thể tích của chất thứ hai là: $\frac{0,006}{x-200}$ ( m³ ).

Thể tích của khối chất lỏng hỗn hợp là: $\frac{0,008+0,006}{700}$ ( m³).

Trước và sau khi trộn thì tổng thể tích của hai chất lỏng không đổi, nên ta có      phương trình:

$\frac{0,008}{x}+\frac{0,006}{x-200}=\frac{0,008+0,006}{700}$

Giải phương trình ta được:   x$_{1}$ = 800 thoả mãn điều kiện

x$_{2}$ = 100 ( loại ).

Vậy khối lượng riêng của chất thứ nhất là 800 kg/m³

Khối lượng riêng của chất thứ hai là 600 kg/m³.

8. Dạng toán có chứa tham số

* Bài toán:  Thả một vật rơi tự do, từ một tháp xuống đất. Người ta ghi được quãng đường rơi S (m) theo thời gian t (s) như sau:

t ( s )	1	2	3	4	5
S (m )	5	20	45	80	125

a, Chứng tỏ quãng đường vật rơi tỉ lệ với bình phương thời gian tương ứng. Tính hệ số tỉ lệ đó?

b, Viết công thức biểu thị quãng đường vật rơi theo thời gian.

* Lời giải:

a, Dựa vào bảng trên ta có:

$\frac{5}{1}=5$;          $\frac{20}{{{2}^{2}}}=5$;              $\frac{45}{{{3}^{2}}}=5$;              $\frac{80}{{{4}^{2}}}=5$;             $\frac{125}{{{5}^{2}}}=5$

Vậy

$\frac{S}{{{t^2}}} = \frac{5}{{{1^2}}} = \frac{{20}}{{{2^2}}} = \frac{{45}}{{{3^2}}} = \frac{{80}}{{{4^2}}} = \frac{{125}}{{{5^2}}} = 5$

Chứng tỏ quãng đường vật rơi tỉ lệ với bình phương thời gian.

b, Công thức:

$\frac{S}{{{t}^{2}}}=5\Rightarrow S=5{{t}^{2}}$

---

Xem thêm:

• Hệ phương trình bậc 1-2 ẩn.
• Phương trình bậc 2- một ẩn.