Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số loại 2

Lý thuyết: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số loại 2

1. Định lý:
Nếu hàm số $f(x)$ liên tục, đặt $x = \varphi (t)$ trong đó $\varphi (t)$ cùng với đạo hàm của nó ($\varphi'(t)$) là những hàm số liên tục, thì: $\int {f(x)dx = \int {f\left[ {\varphi (t)} \right]} .\varphi'(t)dt} .$

2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số loại 2
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Chọn $x = \varphi (t)$, trong đó $\varphi (t)$ là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.
+ Bước 2: Lấy vi phân $dx = \varphi'(t)dt.$
+ Bước 3: Biểu thị $f(x)dx$ theo $t$ và $dt.$ Giả sử rằng $f(x)dx = g(t)dt.$
+ Bước 4: Khi đó $I = \int {g(t)dt} .$
3. Các dạng bài tập thường gặp

Dạng 1: $\int {\left( {x,\sqrt {{a^2} – {x^2}} } \right)} d{\rm{x}}$

Phương pháp: Đặt $x = |a|\sin t$ với $\frac{{ – \pi }}{2} \le t \le \frac{\pi }{2}$ hoặc $x = |a|\cos t$ với $0 \le t \le \pi .$

Ví dụ : Tìm nguyên hàm $I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{(1 – {x^2})}^3}} }}} .$

Đặt $x = sint$; $ – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2}.$

Suy ra: $dx = \cos tdt$ và $\frac{{dx}}{{\sqrt {{{(1 – {x^2})}^3}} }} = \frac{{\cos tdt}}{{{{\cos }^3}t}}$ $ = \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}} = d(\tan t).$

Mặt khác ta có: $\sqrt {{{(1 – {x^2})}^3}} = {\cos ^3}t$ và $\tan t = \frac{x}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}$

Vì: $ – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cos t > 0$ $ \Rightarrow \sqrt {{{\cos }^2}t} = \cos t$ và $\cos t = \sqrt {1 – {{\sin }^2}t} = \sqrt {1 – {x^2}} .$
Khi đó: $I = \int {d(\tan t) = \tan t + C} $ ${ = \frac{x}{{\sqrt {1 – {x^2}} }} + C}.$

Dạng 2:$\int {\left( {x,\sqrt {{x^2} – {a^2}} } \right)} d{\rm{x}}$

Phương pháp: Đặt $x = \frac{{|a|}}{{\sin t}}$ với $t \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}$ hoặc $x = \frac{{|a|}}{{\cos t}}$ với $t \in \left[ {0;\pi } \right]\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2}} \right\}.$

Ví dụ: Tìm nguyên hàm $I = \int {\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}} .$

Vì điều kiện $|x| > 1$, ta xét hai trường hợp:
+ Với $x > 1$:
Đặt $x = \frac{1}{{\sin 2t}}$; $0 < t < \frac{\pi }{4}.$
Suy ra:
$dx = \frac{{2\cos 2tdt}}{{{{\sin }^2}2t}}.$
$\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }} = – \frac{{2dt}}{{{{\sin }^3}2t}}$ $ = – \frac{{2{{(co{s^2}t + {{\sin }^2}t)}^2}dt}}{{8{{\sin }^3}t{{\cos }^3}t}}$
$ = – \frac{1}{4}(\cot t.\frac{1}{{{{\sin }^2}t}}$ $ + \tan t.\frac{1}{{{{\cos }^2}t}} + \frac{2}{{\tan t}}.\frac{2}{{{{\cos }^2}t}})$
$ = – \frac{1}{4}[ – \cot t.d(\cot t)$ $ + \tan t.d(\tan t) + 2\frac{{d(\tan t)}}{{\tan t}}].$
Khi đó: $I = – \frac{1}{4}[ – \int {\cot t.d(\cot t)} $ $ + \int {\tan t.d(\tan t)} + 2\int {\frac{{d(\tan t)}}{{\tan t}}} ]$
$ = – \frac{1}{4}( – \frac{1}{2}{\cot ^2}t + \frac{1}{2}{\tan ^2}t$ $ + 2\ln |\tan t|) + C$
$ = \frac{1}{8}\left( {{{\cot }^2}t – {{\tan }^2}t} \right)$ $ – \frac{1}{2}\ln |\tan t| + C$

Măt khác ta có: ${\cot ^2}t – {\tan ^2}t = \frac{{{{\cos }^4}t – {{\sin }^4}t}}{{{{\cos }^2}t.{{\sin }^2}t}}$ $ = \frac{{4\cos 2t}}{{{{\sin }^2}2t}} = \frac{{4\sqrt {1 – {{\sin }^2}2t} }}{{{{\sin }^2}2t}}$ $ = \frac{4}{{\sin 2t}}\sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}2t}} – 1} $ $= 4x\sqrt {{x^2} – 1} $.

$\tan t = \frac{{\sin t}}{{\cos t}}$ $ = \frac{{2{{\sin }^2}t}}{{2\sin t.\cos t}} = \frac{{1 – \cos 2t}}{{\sin 2t}}$ $ = \frac{1}{{\sin 2t}} – \sqrt {\frac{{{{\cos }^2}2t}}{{{{\sin }^2}2t}}} $ $ = \frac{1}{{\sin 2t}} – \sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}2t}} – 1} $ $= x – \sqrt {{x^2} – 1} $.
Do đó: $ = \frac{1}{2}x\sqrt {{x^2} – 1} $ $ – \frac{1}{2}\ln |x – {x^2} – 1| + C.$
+ Với $x < –1$: Bạn đọc biến đổi tương tự.

Dạng 3: $\int {\left( {x,\sqrt {{x^2} + {a^2}} } \right)} d{\rm{x}}$

Phương pháp 1: Đặt $x = |a|\tan t$ với $ – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2}$ hoặc $x = |a|\cot t$ với $0 < t < \pi .$

Phương pháp 2: Đặt $t = x + \sqrt {{x^2} + a^2} .$

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm $I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{(1 + {x^2})}^3}} }}} .$

Giải

Phương pháp 1:Đặt $x = tant$; $ – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2}.$
Suy ra:
•$dx = \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}.$
•$\frac{{dx}}{{\sqrt {{{(1 + {x^2})}^3}} }}$ $ = \frac{{{{\cos }^3}tdt}}{{{{\cos }^2}t}} = \cos tdt.$
Khi đó: $I = \int {\cos tdt = \sin t + C} $

Vì  $ – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cos t > 0$

$1 + {\tan ^2}t = \frac{1}{{{{\cos }^2}t}}$ $ \Rightarrow {\cos ^2}t = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}t}}$ $ \Rightarrow \cos t = \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}t} }} = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$

$\sin t = \tan t.\cos t = \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$

Vậy: ${ I= \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + C}.$

Ví dụ 2:Tìm nguyên hàm $I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $

Đặt $t = x + \sqrt {{x^2} + 1} .$
Suy ra: $dt = \left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right)dx$ $ = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx$ $ \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{dt}}{t}.$
Khi đó: $I = \int {\frac{{dt}}{t} = \ln \left| t \right|} + C$ $ = \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right| + C.$

Chú ý: Phương pháp trên được áp dụng để giải bài toán tổng quát: $I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)}^{2k + 1}}} }}} $ với $k ∈ Z.$

Dạng 4: $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)} }}} $

Phương pháp: Đặt $x = \sqrt {x + a} + \sqrt {x + b}$

Ví dụ : Tìm nguyên hàm $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} }}} .$

Ta xét hai trường hợp:
+ Với :$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 1 > 0}\\
{x + 2 > 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow x > – 1$
Đặt $t = \sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} .$
Suy ra: $dt = \left( {\frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x + 2} }}} \right)dx$ $ = \frac{{\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right)dx}}{{2\sqrt {(x + 1)(x + 2)} }}$
$ \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {(x + 1)(x + 2)} }} = \frac{{2dt}}{t}.$
Khi đó: $I = 2\int {\frac{{dt}}{t} = 2\ln \left| t \right| + C} $ ${ = 2\ln \left| {\sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right|} + C.$
+ Với :$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 1 < 0}\\
{x + 2 < 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow x < – 2$
Đặt $t = \sqrt { – \left( {x + 1} \right)} + \sqrt { – \left( {x + 2} \right)} .$
Suy ra: $ \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {(x + 1)(x + 2)} }} = – \frac{{2dt}}{t}.$
Khi đó: $I = – 2\int {\frac{{dt}}{t} = – 2\ln \left| t \right|} + C$ $ = – 2\ln \left| {\sqrt { – \left( {x + 1} \right)} + \sqrt { – \left( {x + 2} \right)} } \right| + C.$

Phần trước: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến dạng 1

Phần sau: Tích phân