Đạo hàm cấp cao

Đạo hàm cấp cao

I. Đạo hàm cấp 2

1.1. Định nghĩa

Giả sử hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$. Nếu $f'(x)$ cũng có đạo hàm thì ta gọi đạo hàm của nó là đạo hàm cấp hai của $f(x)$ và kí hiệu $f”(x)$.

$f”(x) = \left( {f’\left( x \right)} \right)’$

Ví dụ 1

Tính đạo hàm cấp hai của $y = f(x) = \sin x$.

Giải

Ta có: $y’ = f'(x) = \left( {\sin x} \right)’ = \cos x$

$y” = f”(x) = \left( {\cos x} \right)’ = – \sin x$.

Ví dụ 2

Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số: $y = \sqrt x $

Giải

Ta có: $y’ = f'(x) = {\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}$

$y” = f”(x) = \left( {\frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)’$ $ = \frac{1}{2}\frac{{\left( {\sqrt x } \right)’}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}}$ $ = \frac{1}{2}\frac{{\frac{1}{{2\sqrt x }}}}{x}$ $ = \frac{1}{{4x\sqrt x }}$.

1.2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét chuyển động xác định bởi phương trình $s=f(t)$, Vận tốc tức thời tại thời điểm $t$ của chuyển động là $v(t)=f'(t)$.

Lấy số gia $\Delta t$ tại $t$ thì $v(t)$ có số gia tương ứng là $\Delta v$.

Khi đó: $v'(t)= \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}$ là gia tốc tức thời của của chuyển động tại thời điểm $t$. Kí hiệu là $a(t)$.

Hệ quả

$a(t) = v'(t) = s”(t)$

Ví dụ

Gia tốc tức thời của rơi tự do: $s(t) = \frac{1}{2}g{t^2};g \approx 9,8\left( {m/s} \right)$ tại thời điểm t=3 s bằng bao nhiêu?

Giải

Ta có: $v(t)=s'(t) = \left( {\frac{1}{2}g{t^2}} \right)’ = gt$

$a(t) = s”(t) = \left( {gt} \right)’ = g$= Hằng số với mọi $t$.

Vậy: Gia tốc của vật rơi tự do luôn bằng $g \approx 9,8\left( {m/{s^2}} \right)$.

Đạo hàm cấp hai $f”(t)$ là gia tốc tức thời của chuyển động $s = f(t)$ tại thởi điểm $t$.

II. Đạo hàm cấp cao

2.1. Đạo hàm cấp 3

$y”’ = \left( {f”(x)} \right)’$

2.2. Đạo hàm cấp cao

Định nghĩa

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm đến cấp n-1, Kí hiệu là ${{f^{(n – 1)}}\left( x \right)}$. Nếu ${{f^{(n – 1)}}\left( x \right)}$ có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của $f(x)$, kí hiệu là ${f^{(n)}}\left( x \right)$ hoặc ${y^{(n)}}\left( x \right)$.

${f^{(n)}}\left( x \right) $= ${\left( {{f^{(n – 1)}}\left( x \right)} \right)^\prime }$,$n \in {N^*},n \ge 4.$

Ví dụ

Với $y=x^5$. Tính $y^5$.

Giải

Ta có:$y’ = \left( {{x^5}} \right)’ = 5{x^4}$

$y” = \left( {5{x^4}} \right)’ = 20{x^3}$

$y”’ = \left( {20{x^3}} \right)’ = 60{x^2}$

${y^{\left( 4 \right)}} = \left( {60{x^2}} \right)’ = 120x$

${y^{\left( 5 \right)}} = \left( {120x} \right)’ = 120$.

=>${y^{\left( n \right)}} = 0;\forall n > 5.$

2.3. Công thức tổng quát của đạo hàm cấp cao

Để tìm công thức tính đạo hàm cấp n của một hàm số ta tìm đạo hàm cấp 1 , 2 , 3 … sau đó dự đoán công thức tính đạo hàm cấp n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp .

a) Đạo hàm của hàm số y=sin ax

${{\left( \sin ax \right)}^{\left( n \right)}}={{a}^{n}}\sin \left( ax+\frac{n\pi }{2} \right)$ $(\forall n \in {N^*})$

Chứng minh

Áp dụng công thức: $\cos x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$

Ta có: $y’ = {\left( {\sin ax} \right)^\prime }$ =$ a.\cos ax = a.\sin \left( {ax + \frac{\pi }{2}} \right)$

+$y” = \left( {a.\sin \left( {ax + \frac{\pi }{2}} \right)} \right)’ $ $= {a^2}.\cos \left( {ax + \frac{\pi }{2}} \right) $ $= {a^2}.\sin \left( {ax + \frac{{2\pi }}{2}} \right)$

+$y”’ = \left( {{a^2}.\sin \left( {ax + \frac{{2\pi }}{2}} \right)} \right)’ $ $= {a^3}.\cos \left( {ax + \frac{{2\pi }}{2}} \right) $ $= {a^3}.\sin \left( {ax + \frac{{3\pi }}{2}} \right)$

…

Ta chứng minh mệnh đề đúng với n. Thật vậy:

${y^{\left( n \right)}} = \left( {{a^{n – 1}}.\sin \left( {ax + \frac{{(n – 1)\pi }}{2}} \right)} \right)’$ $ = {a^n}.\cos \left( {ax + \frac{{(n-1)\pi }}{2}} \right)$ $ = {a^n}.\sin \left( {ax + \frac{{n\pi }}{2}} \right)$ $(\forall n \in {N^*})$ (đpcm).

b) Đạo hàm của hàm số y=cos ax

${\left( {\cos ax} \right)^{\left( n \right)}} = {a^n}\cos \left( {ax + \frac{{n\pi }}{2}} \right)$ $(\forall n \in {N^*})$

Chứng minh

Áp dụng công thức: $\sin x = – \cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$

Ta có: $y’ = {\left( {\cos ax} \right)^\prime }$ $= – a.\sin ax = a.\cos \left( {ax + \frac{\pi }{2}} \right)$

+$y” = \left( { a.\cos \left( {ax + \frac{\pi }{2}} \right)} \right)’$ $ = – {a^2}.\sin \left( {ax + \frac{\pi }{2}} \right)$ $ = {a^2}.\cos \left( {ax + \frac{{2\pi }}{2}} \right)$

+ $y”’ = \left( {{a^2}.\cos \left( {ax + \frac{{2\pi }}{2}} \right)} \right)’$ $ = -{a^3}.\sin \left( {ax + \frac{{2\pi }}{2}} \right)$ $ = {a^3}.\cos \left( {ax + \frac{{3\pi }}{2}} \right)$

…

Ta chứng minh mệnh đề đúng với n.

${y^{\left( n \right)}}$ $ = \left[ {{a^{n – 1}}.\cos \left( {ax + \frac{{\left( {n – 1} \right)\pi }}{2}} \right)} \right]’$ $ = -{a^n}.\sin \left( {ax + \frac{{\left( {n – 1} \right)\pi }}{2}} \right)$ $ = {a^n}.\cos \left( {ax + \frac{{n\pi }}{2}} \right)$ $(\forall n \in {N^*})$ (đpcm).

c) Đạo hàm của hàm số ${y = \frac{1}{{ax + b}}}$

${\left( {\frac{1}{{ax + b}}} \right)^{\left( n \right)}} = \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}{a^n}n!}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}$ $(\forall n \in {N^*})$

Chứng minh

Ta có: $y’ = \left( {\frac{1}{{ax + b}}} \right)’ = – \frac{a}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}$

+ $y” = \left( { – \frac{a}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}} \right)’ = \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^2}1.2.{a^2}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^3}}}$

+$y”’ = \left( {\frac{{{{\left( { – 1} \right)}^2}1.2.{a^2}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^3}}}} \right)’ = \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^3}1.2.3.{a^3}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^4}}}$

…

Ta chứng minh mệnh đề đúng với n. Thật vậy:

${y^{\left( n \right)}} = \left( {\frac{{{{\left( { – 1} \right)}^{n – 1}}1.2.3…(n – 1).{a^{n – 1}}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^n}}}} \right)’ $ $= \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}1.2.3…n.{a^n}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}} $ $= \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}n!.{a^n}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}$ $(\forall n \in {N^*})$(đpcm)