Đề 004-TN THPT QG

Đề 004-TN THPT QG

Câu 36. Có bao nhiêu số phức $z$đôi một khác nhau thỏa mãn $\left| z+i \right|=2$ và ${{\left( z-2 \right)}^{4}}$ là một số thực?

A. $4$.                           

B. $5$.                         

C. $7$.                         

D. $6$.

Hướng dẫn và Lời giải

Chọn đáp án B

Giả sử số phức $z=a+bi$, $\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$.

Ta có $\left| z+i \right|=2\Leftrightarrow \left| a+\left( b+1 \right)i \right|=2\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}=4$ $\left( 1 \right)$

${{\left( z-2 \right)}^{4}}={{\left[ \left( a-2 \right)+bi \right]}^{4}}={{\left[ {{\left( a-2 \right)}^{2}}-{{b}^{2}}+2b\left( a-2 \right)i \right]}^{2}}$

$={{\left( a-2 \right)}^{4}}+{{b}^{4}}-4{{b}^{2}}{{\left( a-2 \right)}^{2}}-2{{b}^{2}}{{\left( a-2 \right)}^{2}}+4b{{\left( a-2 \right)}^{3}}i-4{{b}^{3}}\left( a-2 \right)i$

$={{\left( a-2 \right)}^{4}}+{{b}^{4}}-4{{b}^{2}}{{\left( a-2 \right)}^{2}}-2{{b}^{2}}{{\left( a-2 \right)}^{2}}+4b\left( a-2 \right)\left[ {{\left( a-2 \right)}^{2}}-{{b}^{2}} \right]i$

Vì ${{\left( z-2 \right)}^{4}}$ là một số thực nên

$\begin{array}{l} 4b\left( {a – 2} \right)\left[ {{{\left( {a – 2} \right)}^2} – {b^2}} \right] = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} b = 0\\ a = 2\\ a – 2 = b\\ a – 2 = – b \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} b = 0\\ a = 2\\ a = b + 2\\ a = 2 – b \end{array} \right. \end{array}$

+) $b=0$ thay vào

${a^2} + 1 = 4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} a = \sqrt 3 \\ a = – \sqrt 3 \end{array} \right.$

Có 2 số phức:

$\left[ \begin{array}{l} z = \sqrt 3 \\ z = – \sqrt 3 \end{array} \right.$

+) $a=2$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta có ${{2}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}=4\Rightarrow b=-1$. Có $1$ số phức $z=2-i$

+) $a=b+2$ thay vào

$\begin{array}{l} {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} = 4\\ \Rightarrow 2{b^2} + 6b + 1 = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} b = \frac{{ – 3 – \sqrt 7 }}{2}\\ b = \frac{{ – 3 + \sqrt 7 }}{2} \end{array} \right. \end{array}$

Có $2$ số phức thỏa mãn

+) $a=-b+2$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta có ${{\left( -b+2 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}=4\Rightarrow 2{{b}^{2}}-2b+1=0$ (Vô nghiệm )

Vậy có $5$số phức thỏa mãn.

Trở lại đề thi