1. KHÁI NIỆM VECTƠ
Cho đoạn thẳng $AB$. Nếu chọn điểm $A$ làm điểm đầu, điểm $B$ làm điểm cuối thì đoạn thẳng $AB$ có hướng từ $A$ đến $B$. Khi đó ta nói $AB$ là một đoạn thẳng có hướng.
1.1. Định nghĩa:
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là, trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã chỉ rỏ điểm đầu, điểm cuối.
1.2. Kí hiệu
Vectơ có điểm đầu $A$ và điểm cuối $B$ được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$, đọc là “vectơ $AB$”.
Vectơ còn được kí hiệu là $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{x}$, $\vec{y}$, … khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó.
1.3. Độ dài vectơ:
Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$ được kí hiệu là $\left| \overrightarrow{AB} \right|$, như vậy $\left| \overrightarrow{AB} \right|=AB$. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$ được kí hiệu là $\left| \overrightarrow{a} \right|$.
Vectơ có độ dài bằng $1$ gọi là vectơ đơn vị.
Ví dụ:
Trong hình vẽ trên, $|\overrightarrow {{\rm{BD}}} | = \left| {\overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {EF} } \right| = 3$ ; $\left| {\overrightarrow {E{\rm{A}}} } \right| = \left| {\overrightarrow {EC} } \right| = \left| {\overrightarrow {ED} } \right| = 2\sqrt 3 .$
2. HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, VECTƠ CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU
2.1. Giá của vectơ:
Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.
Trong hình vẽ trên, đường thẳng d là giá của vec tơ $\overrightarrow a $.
2.2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng:
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Hai vectơ cùng phương thì chúng chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
Ví dụ: Trong hình vẽ sau , hãy xác định các vec tơ cùng phương; cùng hướng với vec tơ ${\overrightarrow {EF} }$.
Lời giải
- Các vec tơ cùng phương ${\overrightarrow {EF} }$ là:${\overrightarrow {FE} }$;${\overrightarrow {BD} }$; ${\overrightarrow {DB} }$;${\overrightarrow {DC} }$;${\overrightarrow {CD} }$; ${\overrightarrow {BC} }$;${\overrightarrow {CB} }$.
- Các véc tơ cùng hướng với ${\overrightarrow {EF} }$ là ${\overrightarrow {DB} }$;${\overrightarrow {CD} }$; ${\overrightarrow {CB} }$.
- Các vec tơ ngược hướng với ${\overrightarrow {EF} }$ là: ${\overrightarrow {FE} }$; ${\overrightarrow {BD} }$; ${\overrightarrow {CD} }$; ${\overrightarrow {BC} }$.
2.3. Nhận xét
Ba điểm phân biệt $A$, $B$, $C$ thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương.
2. 4. Hai vecto bằng nhau:
Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
Kí hiệu $\vec{a}=\vec{b}$.
Ví dụ: Cho ABCD là hình bình hành, $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} $; $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} $;…
3.3. Chú ý
Khi cho trước vectơ $\vec{a}$ và điểm $O$, thì ta luôn tìm được một điểm $A$ duy nhất sao cho $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$.
3. VECTƠ – KHÔNG
Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ta kí hiệu là $\vec{0}$.
Ta quy ước vectơ – không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ và có độ dài bằng $0$.
Như vậy $\vec{0}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{BB}=…$ và $\overrightarrow{MN}=\vec{0}$$\Leftrightarrow M\equiv N$.
4. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Ví dụ 1.
Cho ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Những khẳng định nào sau đây là đúng?
a) $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đều cùng phương với vectơ $\overrightarrow{0}$.
b) Nếu $\overrightarrow{b}$ không cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ thì $\overrightarrow{b}$ ngược hướng với $\overrightarrow{a}$.
c) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$đều cùng phương với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$cùng phương.
d) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$đều cùng hướng với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.
Lời giải
Chọnđáp án câu a, c và d
Ví dụ 2.
Trong Hình 4.12, hãy chỉ ra các vectơ cùng phương, các cặp vectơ ngược hướng và các cặp vectơ bằng nhau.
Lời giải
+ Các vectơ cùng phương: $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\,\overrightarrow{c}$
+ Cặp vectơ ngược hướng: $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$; $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$;
+ Cặp vectơ bằng nhau: $\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}$.
Ví dụ 3.
Chứng minh rằng, tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$.
Lời giải
+ Giả sử tứ giác $ABCD$là hình bình hành. Ta có
$\left{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\rm{\;}}&{AD//BC}\ {\rm{\;}}&{AD = BC} \end{array}} \right.$$AD//BC$nên $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC}$ cùng phương và $AD=BC$. Dựa vào hình vẽ ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC}$ cùng chiều .
Vậy $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.
+ Giả sử $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ cùng hướng và $\left| \overrightarrow{AD} \right|=\left| \overrightarrow{BC} \right|$
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
Ví dụ 4.
Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối được lấy từ hai điểm A;B?
Lời giải
Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{BA}$.
Ví dụ 5.
Cho tam giác ABC, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C?
Lời giải
Ta có 6 vectơ: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AC}.$
Ví dụ 7.
Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm số các vectơ khác vectơ – không, cùng phương với vectơ $\overrightarrow{OB}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác?
Lời giải
Các vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{OB}$ là: $\overrightarrow{BE},\overrightarrow{EB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{FA},\overrightarrow{AF}.$
Ví dụ 8.
Số vectơ (khác vectơ $\overrightarrow{0}$ ) có điểm đầu và điểm cuối lấy từ $7$ điểm phân biệt cho trước?
Lời giải
Một vectơ khác vectơ không được xác định bởi $2$ điểm phân biệt. Khi có $7$ điểm ta có $7$ cách chọn điểm đầu và $6$ cách chọn điểm cuối. Nên ta sẽ có $7.6=42$ cách xác định số vectơ khác $\overrightarrow{0}$ thuộc $7$ điểm trên.
5. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.
Cho tứ giác $ABCD$. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không có điểm đầu và cuối là các đỉnh của tứ giác?
A. $4.$
B. $6.$
C. $8.$
D. $12.$
Chọn D
Xét các vectơ có điểm $A$ là điểm đầu thì có các vectơ thỏa mãn Câu toán là $\overrightarrow{AB},\text{ }\overrightarrow{AC},\text{ }\overrightarrow{AD}\xrightarrow{{}}$ có 3 vectơ.
Tương tự cho các điểm còn lại $B,\text{ }C,\text{ }D.$
Câu 2.
Cho 5 điểm A, B, C, D, E có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu là A và điểm cuối là một trong các điểm đã cho?
A. 4
B. 20
C. 10
D. 12
Chọn A
Câu 3.
Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy tìm các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lục giác và tâm O sao cho bằng với $\overrightarrow{AB}$?
A. $\overrightarrow{FO},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{FD}$
B. $\overrightarrow{FO},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{ED}$
C. $\overrightarrow{BO},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{ED}$
D. $\overrightarrow{FO},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{ED}$
Lời giải
Chọn D
Câu 4.
Cho lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O.$ Số các vectơ khác vectơ – không, cùng phương với $\overrightarrow{OC}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là
A. $4.$
B. $6.$
C. $7.$
D. $9.$
Lời giải
Chọn B
Đó là các vectơ: $\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{DE},\ \overrightarrow{ED},\ \overrightarrow{FC},\ \overrightarrow{CF}$.
Câu 5.
Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Xác định các vectơ cùng phương với $\overrightarrow{MN}$.
A. $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AP},\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PC},\overrightarrow{CP}$
B. $\overrightarrow{NM},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{PA},\overrightarrow{AP}$
C. $\overrightarrow{NM},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AP},\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PC},\overrightarrow{CP}$
D. $\overrightarrow{NM},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AM},\overrightarrow{MA},\overrightarrow{PN},\overrightarrow{CP}$
Lời giải
Chọn C
Câu 6.
Cho hai vectơ khác vectơ – không, không cùng phương. Có bao nhiêu vectơ khác $\overrightarrow{0}$cùng phương với cả haivectơ đó?
A. $2$.
B. $1$.
C. không có.
D. vô số.
Lời giải
Chọn C
Giả sử tồn tại một vec-tơ $\vec{c}$ cùng phương với cả hai véc-tơ $\vec{a},\text{ }\vec{b}$. Lúc đó tồn tại các số thực $h$ và $k$ sao cho $\vec{c}=h\vec{a}$ và $\vec{c}=k\vec{b}$. Từ đó suy ra $h\vec{a}=k\vec{b}\Leftrightarrow \vec{a}=\frac{k}{h}\vec{b}$.
Suy ra hai véc-tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương. (mâu thuẫn). à Chọn C
Câu 7.
Cho hình bình hành $ABCD$. Số vectơ khác $\overrightarrow{0}$, cùng phương với vectơ $\overrightarrow{AB}$ và có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của hình bình hành $ABCD$ là
A. $1$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $4$.
Lời giải
Chọn C
Các vectơ cùng phường với $\overrightarrow{AB}$ mà thỏa mãn điều kiện đầu Câu là: $\overrightarrow{BA},$ $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{DC}$.
Câu 8.
Cho lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$. Số vectơ khác $\overrightarrow{0}$, có điểm đầu điểm cuối là đỉnh của lục giác hoặc tâm $O$ và cùng phương với vectơ $\overrightarrow{OC}$ là
A. $3$.
B. $4$.
C. $8$.
D. $9$.
Lời giải
Chọn D
Các vectơ thỏa mãn là: $\overrightarrow{CO},$ $\overrightarrow{FO},$ $\overrightarrow{OF},$ $\overrightarrow{FC},$ $\overrightarrow{CF},$ $\overrightarrow{AB},$ $\overrightarrow{BA},$ $\overrightarrow{ED},\,$$\overrightarrow{DE}$.
Câu 9.
Cho tứ giác . Số các véctơ khác véctơ-không có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ giác là
A. $4$.
B. $6$.
C. $8$.
D. $12$.
Lời giải
Chọn D
Từ mỗi đỉnh ta có một điểm đầu và ba đỉnh còn lại là ba điểm cuối, vậy tạo nên ba véctơ. Với bốn đỉnh như vậy ta có tất cả $3.4=12$véctơ.
Câu 10.
Cho tam giác $ABC$, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh $A,\text{ }B,\text{ }C?$
A. $3$.
B. $6$.
C. $4$.
D. $9$.
Lời giải
Chọn B
Đó là các vectơ: $\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{CB},\ \overrightarrow{CA},\ \overrightarrow{AC}$.
Câu 11.
Cho tứ giác $ABCD$ có $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai?
A. Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
B. $DA=BC$.
C. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$.
D. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
Lời giải
Chọn C
$AC$ và $BD$ là hai đường chéo của tứ giác $ABCD$ nên hai vectơ $\overrightarrow{AC},$ $\overrightarrow{BD}$ không cùng phương vì vậy không thể bằng nhau.
Câu 12.
Cho tam giác$ABC$. Gọi $M,N$lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AC$. Hỏi cặp véctơ nào sau đây cùng hướng?
A. $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{MB}$.
B. $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{CB}$.
C. $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$.
D. $\overrightarrow{AN}$ và $\overrightarrow{CA}$.
Lời giải
Chọn A
Câu 13.
Cho tứ giác $ABCD$. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$?
A. $ABCD$ là vuông.
B. $ABDC$ là hình bình hành.
C. $AD$ và $BC$ có cùng trung điểm.
D. $AB=CD$.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \Rightarrow {\rm{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AB\parallel CD}\\ {AB = CD} \end{array}} \right.$suy ra $ABCD$ là hình bình hành.
Mặt khác, $ABCD$ là hình binh hành
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AB\parallel CD}\\ {AB = CD} \end{array}} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} .$Do đó, điều kiện cần và đủ để $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ là $ABDC$ là hình bình hành.
Câu 14.
Gọi$O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$ của hình bình hành $ABCD$. Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức sai?
A. $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO}$.
B. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
C. $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}$.
D. $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}$.
Lời giải
Chọn C
$\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OC}$ là hai vectơ đối nhau.
Câu 15.
Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
A. $\overrightarrow{\,0\,}$ cùng hướng với mọi vectơ.
B. $\overrightarrow{\,0\,}$ cùng phương với mọi vectơ.
C. $\overrightarrow{AA\,}=\overrightarrow{\,0\,}$.
D. $\left| \overrightarrow{AB\,} \right|>0$.
Lời giải
Chọn D Mệnh đề $\left| \overrightarrow{AB\,} \right|>0$ là mệnh đề sai, vì khi $A\equiv B$ thì $\left| \overrightarrow{AB\,} \right|=0$.
——————————
Xem thêm:
0 Bình luận