Đề 001-TN THPT QG

Đề 001-TN THPT QG

Câu 50. Một người thợ có một khối đá hình trụ. Kẻ hai đường kính MN, PQ của hai đáy sao cho $MN\bot PQ.$ Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt cắt đi qua 3 trong 4 điểm M, N, P, Q để thu được khối đá có hình tứ diện MNPQ. Biết rằng MN = 60 cm và thể tích khối tứ diện MNPQ bằng $36d{{m}^{3}}.$ Tìm thể tích của lượng đá bị cắt bỏ (làm tròn kết quả đến 1 chữ số thập phân).

A. $133,6d{{m}^{3}}$   

B. 113,6$d{{m}^{3}}$                                    

C. 143,6$d{{m}^{3}}$                                       

D. 123,6$d{{m}^{3}}$

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Dựng hình lăng trụ MP’NQ’.M’PN’Q (như hình vẽ)

Khi đó, ta có: ${{V}_{MNPQ}}={{V}_{MP’NQ’.M’PN’Q}}-\left( {{V}_{P.MNP’}}+{{V}_{Q.MNQ’}}+{{V}_{M.M’PQ}}+{{V}_{N.N’PQ}} \right)={{V}_{MP’NQ’.N’PN’Q}}-4.{{V}_{P.MNP’}}$

$\begin{array}{l} = {V_{MP’NQ’.PN’Q}} – 4.\frac{1}{2}{V_{P.MQ’NP’}}\\ = {V_{MP’NQ’.M’PN’Q}} – 2{V_{P.MQ’NP’}}\\ = {V_{MP’NQ’.PN’Q}} – 2.\frac{1}{3}{V_{MP’NQ’.PN’Q}}\\ = \frac{1}{3}{V_{MP’NQ’.PN’Q}}. \end{array}$

$\Rightarrow \frac{1}{3}{{V}_{MP’NQ’.PN’Q}}=36(d{{m}^{3}})\Leftrightarrow {{V}_{MP’NQ’.PN’Q}}=108\left( d{{m}^{3}} \right)$

Do $MN\bot PQ,PQ//P’Q’$ nên $MN\bot P’Q’\Rightarrow MP’NQ’$ là hình vuông

Ta có:

$MN = 60cm \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} MQ = \frac{{60}}{{\sqrt 2 }} = 30\sqrt 2 (cm) = 3\sqrt 2 (dm)\\ OM = \frac{{60}}{2} = 30(cm) = 3(dm) \end{array} \right.$

$\Rightarrow {{S}_{MP’NQ’}}={{\left( 3\sqrt{2} \right)}^{2}}=18(d{{m}^{2}})$

${{V}_{MP’NQ’.PN’Q}}={{S}_{MP’NQ’}}.h\Rightarrow 18h=108\Leftrightarrow h=6(dm)$

Thể tích khối trụ là: $V=\pi {{R}^{2}}h=\pi .O{{M}^{2}}h=\pi {{.3}^{2}}.6=54\pi (d{{m}^{3}})$

Thể tích của lượng đá bị cắt bỏ là: $54\pi -36\approx 133,6\left( d{{m}^{3}} \right).$

Trở lại đề thi