Đề 002-TN THPT QG

Đề 002-TN THPT QG

Câu 39. Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\left( 0;+\infty  \right)\backslash \left\{ e \right\}$, thỏa mãn ${f}’\left( x \right)=\frac{1}{x\left( \ln x-1 \right)}$, $f\left( \frac{1}{{{e}^{2}}} \right)=\ln 6$ và $f\left( {{e}^{2}} \right)=3$. Giá trị biểu thức $f\left( \frac{1}{e} \right)+f\left( {{e}^{3}} \right)$ bằng

A. $3\left( \ln 2+1 \right)$.                                        

B. $2\ln 2$.                      

C. $3\ln 2+1$.   

D. $\ln 2+3$.

Hướng dẫn và lời giải

Đáp án A

Ta có ${f}’\left( x \right)=\frac{1}{x\left( \ln x-1 \right)}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) = \smallint \frac{1}{{x\left( {\ln x – 1} \right)}}dx\\ = \ln \left| {\ln x – 1} \right| + C\\ = \left\{ \begin{array}{l} \ln \left( {1 – \ln x} \right) + {C_1}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} khi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in \left( {0;e} \right)\\ \ln \left( {\ln x – 1} \right) + {C_2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} khi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in \left( {e; + \infty } \right) \end{array} \right. \end{array}$

+) $f\left( \frac{1}{{{e}^{2}}} \right)=\ln 6\Rightarrow {{C}_{1}}=\ln 2$.

+) $f\left( {{e}^{2}} \right)=3\Rightarrow {{C}_{2}}=3$.

Do đó

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \ln \left( {1 – \ln x} \right) + \ln 2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} khi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in \left( {0;e} \right)\\ \ln \left( {\ln x – 1} \right) + 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} khi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in \left( {e; + \infty } \right) \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left( {\frac{1}{e}} \right) = \ln 2 + \ln 2\\ f\left( {{e^3}} \right) = \ln 2 + 3 \end{array} \right. \end{array}$

$\xrightarrow{{}}f\left( \frac{1}{e} \right)+f\left( {{e}^{3}} \right)=3\left( \ln 2+1 \right)$.

Trở về đề thi