Đề 003-TN THPT QG

Đề 003-TN THPT QG

Câu 44. Cho hình nón cụt $\left( N \right)$ có bán kính đáy dưới ${{r}_{1}}=18$, bán kính đáy trên ${{r}_{2}}=6$. Biết rằng có đúng một quả cầu được đựng trên nón cụt như hình vẽ. Quả cầu tiếp xúc với hai đáy và tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón cụt.

            Thể tích của khối nón cụt  đã cho  bằng :

A. $\frac{1820\pi \sqrt{3}}{3}$.                            

B. $\frac{1732\pi \sqrt{3}}{3}$.

C. $\frac{1872\pi \sqrt{3}}{3}$.                 

D. $\frac{1924\pi \sqrt{3}}{3}$.

Hướng dẫn và Lời giải

Chọn C

            Ta có mô hình khối nón:

            Gọi $h$ là đường cao của hình nón , $R$ là bán kính quả cầu.

            Ta có : ${{O}_{1}}{{O}_{2}}=2R=S{{O}_{1}}-S{{O}_{2}}=h-\frac{{{r}_{2}}}{{{r}_{1}}}h\Rightarrow R=\frac{h}{3}$ $\left( 1 \right)$.

            Mặt khác ta có: $R=\frac{{{S}_{\Delta SAB}}}{\frac{1}{2}\left( SA+SB+AB \right)}=\frac{2S{{O}_{1}}.{{r}_{1}}}{2\sqrt{S{{O}_{1}}^{2}+r_{1}^{2}}+2{{r}_{1}}}=\frac{18h}{\sqrt{{{h}^{2}}+{{18}^{2}}}+18}$$\left( 2 \right)$.

            Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra: $\frac{18h}{\sqrt{{{h}^{2}}+{{18}^{2}}}+18}=\frac{h}{3}$$\Leftrightarrow h=18\sqrt{3}$.

            Thể tích của khối nón cụt $\left( N \right)$ là: ${{V}_{\left( N \right)}}=\frac{1}{3}S{{O}_{1}}\pi .r_{1}^{2}-\frac{1}{3}S{{O}_{2}}\pi .r_{2}^{2}=\frac{1}{3}\pi h\left( r_{1}^{2}-\frac{1}{3}r_{2}^{2} \right)=\frac{1872\pi \sqrt{3}}{3}$.

Trở lại đề thi