Đề 004-TN THPT QG

Đề 004-TN THPT QG

Câu 49. [Mức độ 3] Xét tất cả các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $\frac{x+y}{10}+\log \left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{2y} \right)=1+2xy$.

Khi biểu thức $\frac{4}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất, tích $xy$ bằng

A. $\frac{9}{100}$.       

B. $\frac{9}{200}$.     

C. $\frac{1}{64}$.       

D. $\frac{1}{32}$.

Hướng dẫn và Lời giải

Chọn đáp án C

Ta có $\frac{x+y}{10}+\log \left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{2y} \right)=1+2xy$

$\Leftrightarrow \frac{x+y-20xy}{10}+\log \frac{x+y}{2xy}-\log 10=0$

$\Leftrightarrow \frac{x+y-20xy}{10}+k\left( \frac{x+y}{2xy}-10 \right)=0\,\,\,\left( k>0 \right)$

$\Leftrightarrow \left( x+y-20xy \right)\left( \frac{1}{10}+\frac{k}{2xy} \right)=0\,$

$\Leftrightarrow x+y=20xy\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=20$.

Ta có $\left( \frac{4}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)\left( \frac{1}{4}+1 \right)\ge {{\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)}^{2}}=400\Leftrightarrow \frac{4}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}\ge 320$

Khi đó

$\begin{array}{l} \left( {\frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}}} \right)\min = 320\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 4y\\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 20 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{1}{4}\\ y = \frac{1}{{16}} \end{array} \right.\\ \Rightarrow xy = \frac{1}{{64}} \end{array}$

Trở lại đề thi