HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

I. Các hàm số lượng giác cơ bản

1.1. Hàm số sin: \(y = \sin x\)

• Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

• Tập giá trị: \([-1;1].\) Nghĩa là: $ – 1 \le \sin x \le 1;\forall x \in R$

• Hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).

+ Vì $\forall x \in R,\exists T = k2\pi ,f(x + T) = \sin (x + T) = \sin (x) = f(x)$. Suy ra hàm số tuần hoàn.

+ Số T>0 be nhất xảy ra khi và chỉ k=1. Suy ra, hàm số tuần hoàn với chu kỳ $T = 2\pi $

• Hàm số lẻ.

Vì $\forall x \in R,f( – x) = \sin ( – x) = – \sin (x) = – f(x)$.

• Sự biến thiên:

Dựa và đường tròn lượng giác ta có:

+ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( {-\frac{{ \pi }}{2} + k2\pi ;\,\,\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}.\)

+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k2\pi ;\,\,\pi + k2\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}\).

• Đồ thị hàm số \(y = \sin x\)

+ Đồ thị là một đường hình sin.

+ Do hàm số \(y = \sin x\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng và đi qua gốc tọa độ.

+ Đồ thị hàm số  \(y = \sin x\):

​

1.2. Hàm số cosin: \(y = \cos x\)

• Tập xác định: \(\mathbb{R}\)

• Tập giá trị: \([-1;1].\)

• Hàm số tuần hoàn với chu kì: \(2\pi \).

• Hàm số chẵn.

• Sự biến thiên:

+ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(( – \pi + k2\pi ;\,\,k2\pi )\), \(k \in \mathbb{Z}\).

+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((k2\pi ;\,\,\pi + k2\pi )\), \(k \in \mathbb{Z}\).

• Đồ thị hàm số: \(y = \cos x\)

+ Đồ thị hàm số là một đường hình sin.

+ Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

+ Đồ thị hàm số \(y = \cos x\)​:

*Lưu ý: Do $\forall x \in R,\cos x = \sin (x + \frac{\pi }{2})$ nê đồ thị hàm số: \(y = \cos x\) được suy ra từ đồ thị hàm số: \(y = \sin x\) bằng cách tịnh tiến đồ thị \(y = \sin x\) theo trục hoành một khoảng bằng $\frac{\pi }{2}$.

1.3. Hàm số tan: \(y = \tan x\)

• Tập xác định \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}.\) 
• Hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi.\) 
• Tập giá trị là \(\mathbb{R}\).
• Hàm số lẻ.

• Sự biến thiên

+ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( {\frac{{ – \pi }}{2} + k\pi ;\,\frac{\pi }{2} + \,k\pi } \right),\,\,k \in \mathbb{Z}.\)

• Đồ thị hàm số: \(y = \tan x\)​

+Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và đi qua gốc tọa độ.

+ Đồ thị hàm số \(y = \tan x\):

1.4. Hàm số: \(y = \cot x\)

• Tập xác định \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\left( {k \in } \right)} \right\}.\) 
• Tập giá trị là \(\mathbb{R}.\)
• Hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi .\) 
• Hàm số lẻ.

• Sự biến thiên

+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  \(\left( {k\pi ;\,\pi + \,k\pi } \right),\,\,k \in \mathbb{Z}.\)

• Đồ thị hàm số \(y = \cot x\)

+ Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng và không đi qua gốc tọa độ.

+ Đồ thị hàm số \(y = \cot x\)​:

II. Phân dạng bài tập

Dạng 1. Tìm giá trị của x thỏa mãn $\sin x = m$; $\cos x = m$; $\tan x = m$; $\cot x = m$.

Ví dụ 1

Tìm x sao cho:

a) sin x=0.

b) sin x=1.

c) sin x=-1.

d) $sin{\rm{ }}x = \frac{1}{2}$

e) sin x=2.

Lời giải

$a)sin{\rm{ }}x = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = k2\pi }\\ {x = \pi + k2\pi } \end{array}} \right. \Leftrightarrow x = k\pi $

$b)sin{\rm{ }}x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi $

$c)sin{\rm{ }}x = – 1 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi $

$d)sinx = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\ {x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi } \end{array}} \right.} \end{array}$

$e)sin{\rm{ }}x = 2 \Leftrightarrow x = \phi $.

Dạng 2. Tìm điều kiện tồn tại của biểu thức chứa hàm số lượng giác.

Ví dụ 2.

Tìm tập xác định các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{1 + \sin x}}{{\cos x}}\)

b) \(y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

c) \(y = \cot \left( {\frac{\pi }{3} – 2x} \right)\)

Lời giải:

a) Hàm số \(y = \frac{{1 + \sin x}}{{\cos x}}\) xác định khi \(cosx\ne0\) hay \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,(k \in\mathbb{Z} ).\)

b) Hàm số \(y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) xác định khi \(x + \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi \,(k \in\mathbb{Z} ).\)

c) Hàm số \(y = \cot \left( {\frac{\pi }{3} – 2x} \right)\) xác định khi \(\frac{\pi }{3} – 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} – k\frac{\pi }{2}\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)

Dạng 3. Tìm miền giá trị của biểu thức lượng giác.

Ví dụ 3. 

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = 3\sin \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right) + 1\)

b) \(y=\sqrt{1+\cos2x}-5\)

Lời giải:

a) Ta có: \(- 1 \le \sin \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right) \le 1 \Rightarrow – 3 \le 3\sin \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right) \le 3\)

\(\Rightarrow – 2 \le 3\sin \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right) + 1 \le 4\)

*$y = 4 \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right) = 1 \Leftrightarrow x – \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k2\pi $

*$y = – 2 \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right) = – 1 \Leftrightarrow x – \frac{\pi }{6} = – \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{3} + k2\pi $

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4, giá trị nhỏ nhất cả hàm số là -2.

b) Ta có: \(- 1 \le \cos 2x \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 + \cos 2x \le 2\)

\(\Rightarrow 0 \le \sqrt {1 + \cos 2x} \le \sqrt 2 \Rightarrow – 5 \le \sqrt {1 + \cos 2x} – 5 \le \sqrt 2 – 5\)

*$y = – 5 \Leftrightarrow \cos 2x = – 1 \Leftrightarrow 2x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi $

*$y = \sqrt 2 – 5 \Leftrightarrow \cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi $

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\sqrt2-5\), giá trị nhỏ nhất của hàm số là -5.

Dạng 4. Tìm chu kỳ tuần hoàn của một hàm số lượng giác.

Ví dụ 4. 

Tìm chu kì tuần hoàn của các hàm số lượng giác sau:

a) \(y = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x\)

b) \(y = 2\cos 2x\)

c) \(y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Lời giải:

Phương pháp: Khi tìm chu kì của hàm số lượng giác, ta cần biến đổi biểu thức cuả hàm số đã cho về một dạng tối giản và lưu ý rằng:

• Hàm số \(y = \sin x,y = \cos x\) có chu kì \(T=2\pi.\)
• Hàm số \(y = \tan x,y = \cot x\) có chu kì \(T=\pi.\)
• Hàm số \(y = \sin \left( {ax + b} \right),y = \cos \left( {ax + b} \right)\) với \(a\ne 0\) cho chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}.\)
• Hàm số \(y = \tan \left( {ax + b} \right),y = \cot \left( {ax + b} \right)\) với \(a\ne 0\) có chu kì \(T = \frac{{\pi }}{{\left| a \right|}}.\)

a) Hàm số \(y = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x\) có chu kì tuần hoàn là \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \pi .\)

b) Hàm số \(y = 2\cos 2x\) có chu kì tuần hoàn là \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \pi .\)

c) Hàm số \(y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\) có chu kì tuần hoàn là \(T = \frac{{\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \frac{\pi}{2} .\)

IV.Trắc nghiệm

Để cũng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm sau.

• Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {3 – \sin x} .\)
  • A. \(\emptyset \)
  • B. \(\left[ { – 1;1} \right]\)
  • C. \(\left( { – \infty ;3} \right]\)
  • D. \(\mathbb{R}\)
• Câu 2: Tìm tập xác định của hàm số \(y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right).\)
  • A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • B. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{{12}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • D. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
• Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 3\)
  • A. M=5; m=1
  • B. M=5; m=-1
  • C. M=3; m=1
  • D. M=5; m=3

• Câu 4: Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {3 – \sin x} .\)
  • A. \(\emptyset \)
  • B. \(\left[ { – 1;1} \right]\)
  • C. \(\left( { – \infty ;3} \right]\)
  • D. \(\mathbb{R}\)

• Câu 5: Tìm tập xác định của hàm số \(y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right).\)
  • A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • B. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{{12}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • D. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

• Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 3\)
  • A. M=5; m=1
  • B. M=5; m=-1
  • C. M=3; m=1
  • D. M=5; m=3

• Câu 7: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x.\)
  • A. M=0
  • B. M=1
  • C. M=2
  • D. \(M = \frac{1}{2}\)

• Câu 8: Tìm tập giá trị của hàm số \(y = 1 – 2\left| {\sin 3x} \right|.\)
  • A. \({\rm{[}} – 1;1]\)
  • B. \(\left[ {0;1} \right]\)
  • C. \(\left[ { – 1;0} \right]\)
  • D. \(\left[ { – 1;3} \right]\)

• Câu 9: Tìm tập xác định của hàm số \(y = \cot x\)
  • A. \(R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z} \right\}\)
  • B. \(R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}\)
  • C. \(R\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2},k \in Z} \right\}\)
  • D. \(R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}\)

• Câu 10: Tập xác định của hàm số \(y = \tan x\)
  • A. R
  • B. \(R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}\)
  • C. \(\begin{array}{l}
    R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}\\
    R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}
    \end{array}\)
  • D. \(R\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2},k \in Z} \right\}\)

• Câu 11: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=3 \sin x +5$ lần lượt là: 
  • A. -8 và -2 
  • B. 2 và 8
  • C. -5 và 2
  • D. -5 và 3 

• Câu 12: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 7 – 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) lần lượt là:
  • A. -2 và 7
  • B. -2 và 2 
  • C. 5 và 9
  • D. 4 và 7

• Câu 13: Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\tan x}}{{\cos x – 1}}\)
  • A. \(R\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in Z} \right\}\)
  • B. \(R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in Z} \right\}\)
  • C. \(R\backslash \left\{ {k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}\)
  • D. \(R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in Z} \right\}\)

• Câu 14. Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \frac{1}{{\sin \left( {x – \frac{\pi }{2}} \right)}}.\)
  • A. \({\rm{D}} = R\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2},\,k \in Z} \right\}.\) 
  • B. \({\rm{D}} = R\backslash \left\{ {k\pi ,\,k \in Z} \right\}.\)
  • C. \({\rm{D}} = R\backslash \left\{ {\left( {1 + 2k} \right)\frac{\pi }{2},\,k \in Z} \right\}.\)
  • D. \({\rm{D}} = R\backslash \left\{ {\left( {1 + 2k} \right)\pi ,\,k \in Z} \right\}.\)

• Câu 15. Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \frac{1}{{\sin x – \cos x}}.\)
  • A. D = R 
  • B. \({\rm{D}} = R\backslash \left\{ { – \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z} \right\}.\)
  • C. \({\rm{D}} = R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in Z} \right\}.\) 
  • D. \({\rm{D}} = R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z} \right\}.\)

————————-