Củng cố lý thuyết qua sơ đồ tư duy

https://youtu.be/xuMwYKwWsdQ

Hệ thức lượng trong tam giác

1.Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH=h, BC=a, CA=b,, AB=c. Gọi BH=c’, CH=c’. Ta luôn có:

Các hệ thức về cạnh

  • ${a^2} = {b^2} + {c^2}$
  • ${b^2} = a.b’$
  • ${c^2} = a.c’$
  • ${h^2} = b’.c’$
  • $\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}$

Các hệ thức về góc

  • $\sin B = \cos C = \frac{b}{a}$
  • $\sin C = \cos B = \frac{c}{a}$
  • $\tan C = \cot B = \frac{c}{b}$
  • $\tan B = \cot C = \frac{b}{c}$

Hệ quả:

  • $\tan B.\cot B = 1$
  • ${\sin ^2}B + {\cos ^2}B = 1$
  • $\tan B = \frac{{\sin B}}{{\cos B}}$
  • $\cot B = \frac{{\cos B}}{{\sin B}}$

2. Hệ thức lượng trong tam giác thường

2.1.Định lý cosin.

Trong tam giác ABC bất kỳ với AC=b, BC=a,CA=b ta có:

  • ${a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc\cos A$
  • ${b^2} = {a^2} + {c^2} – 2ac\cos B$
  • ${c^2} = {a^2} + {b^2} – 2ab\cos C$

Chứng minh

$\begin{array}{l}
{a^2} = {\left| {\overrightarrow {BC} } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} } \right)^2}\\
= {\overrightarrow {AC} ^2} – 2\overrightarrow {AC} \overrightarrow {AB} + {\overrightarrow {AB} ^2}\\
= {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {AB} ^2} – 2\left| {\overrightarrow {AC} } \right|\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\cos A\\
= {b^2} + {c^2} – 2bc\cos A
\end{array}$

Hệ quả:

  • $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}$
  • $\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{2ac}}$
  • $\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} – {a^2}}}{{2ab}}$

Ví dụ

Cho tam giác ABC, có AC=10, BC=16 và C=1100 . Tính cạnh AB và góc A, B của tam giác.

Giải

Áp dụng định lý cosin , ta có:

$\begin{array}{l}
A{B^2} = C{A^2} + C{B^2} – 2CA.CB.\cos C\\
= {10^2} + {16^2} – 2.10.16.\cos {110^0}\\
= 465,44\\
\Rightarrow AB \simeq 21,6
\end{array}$

$\begin{array}{l}
\cos A = \frac{{A{C^2} + A{B^2} – B{C^2}}}{{2AC.AB}} = \frac{{{{10}^2} + 21,{6^2} – {{16}^2}}}{{2.10.(21,6)}} \simeq 0,718\\
\Rightarrow A \simeq {44^0}2′,B = {180^0} – (A + C) \simeq {25^0}58′
\end{array}$

2.2.Định lý sin

Cho tam giác ABC với BC=a, CA=b, AB=c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta luôn có:

$\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$

Chứng minh

Ta chứng minh: $\frac{a}{{\sin A}} = 2R$

  • Nếu A nhọn (hình vẽ), ta có: tam giác BCD vuông tại C nên BC=BD.sinD hay a=2R.sinD. vì $\widehat A = \widehat D$ (góc nội tiếp cùng chắn một cung BC). Do đó:$a = 2R.\sin A$ hay $\frac{a}{{\sin A}} = 2R$ (đpcm).
  • Nếu góc A tù, ta có sinD=sin(1800-A) suy ra: BC=BD.sinD hay $\frac{a}{{\sin A}} = 2R$ (đpcm)
Ví dụ

Cho tam giác ABC có B=200 , C=310 , AC=210. Tính góc A, AB, CB và R.

Giải

ta có: A=1800 -(200 +310 )=1290 .

Theo định lý sin:

$\begin{array}{l}
a = BC = \frac{{AC.\sin A}}{{\sin B}} = \frac{{210.\sin {{129}^0}}}{{\sin {{20}^0}}} \simeq 477,2\\
c = AB = \frac{{AC.\sin C}}{{\sin B}} = \frac{{210.\sin {{31}^0}}}{{\sin {{20}^0}}} \simeq 316,2\\
R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{477,2}}{{2.\sin {{129}^0}}} \simeq 307,02
\end{array}$

2.3.Công thức diện tích tam giác

cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, AB=c, AC=b. ha , hb , hc lần lượt là đường cao xuất phát từ đỉnh A,B,C. R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và $p = \frac{{a + b + c}}{2}$ là nửa chu vi. Ta luôn có:

  • ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}b{h_b} = \frac{1}{2}c{h_c}$
  • ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B$
  • ${S_{\Delta ABC}} = \frac{{abc}}{{4R}}$
  • ${S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} $ (công thức Hê rông)
  • ${S_{\Delta ABC}} = pr$
Ví dụ

Tam giác ABC có a=13, b=14, c=15.

a)Tính diện tích tam giác.

b)Tính R,r.

Giải

a) Ta có: $p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{1}{2}(13 + 14 + 15) = 21$. theo Hê rông ta có: ${S_{\Delta ABC}} = \sqrt {21(21 – 13)(21 – 14)(21 – 15)} = 84$.

b) Áp dụng: S=pr ta có: $r = \frac{S}{p} = \frac{{84}}{{21}} = 4$; $S = \frac{{abc}}{{4R}}$ suy ra: $R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{13.14.15}}{{4.84}} = 8,125$.

2.4.Công thức đường trung tuyến

Cho tam giác ABC có AB=c, AB=c, BC=a. Gọi ma , mb , mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B,C. Ta luôn có:

  • ${m_a}^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} – \frac{{{a^2}}}{4}$
  • ${m_b}^2 = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} – \frac{{{b^2}}}{4}$
  • ${m_c}^2 = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} – \frac{{{c^2}}}{4}$

Chứng minh

Ta có: $\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{2ac}}$ do đó:

$\begin{array}{l}
{m_a}^2 = {c^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} – 2c.\frac{a}{2}\cos B\\
= {c^2} + \frac{{{a^2}}}{4} – ac.\frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{2ac}}\\
= \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} – \frac{{{a^2}}}{4}
\end{array}$

Ví dụ

Cho tam giác ABC có BC=7, AC=8, AB=6. Tính độ dài trung tuyến ma .

Giải

Ta có: $\begin{array}{l}
{m_a}^2 = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{2} – \frac{{B{C^2}}}{4}\\
= \frac{{{8^2} + {6^2}}}{2} – \frac{{{7^2}}}{4} = \frac{{151}}{4}\\
\Rightarrow {m_a} = \frac{{\sqrt {151} }}{2}
\end{array}$

Luyện tập

Câu 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, góc A = 120o. Độ dài cạnh BC là:

A. $\sqrt {19} $  

B.  $2\sqrt {19} $

C. $3\sqrt {19} $

D. $3\sqrt {19} $

Câu 2: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5, BC = 6. Giá trị cos A bằng

A. 0,125    

B. 0,25    

C. 0,5    

D. 0,0125

Câu 3: Cho tam giác ABC có a = 3, b = 5, c = 6. Giá trị của mc bằng

A. $\sqrt 2 $    

B. $2\sqrt 2 $    

C. 3    

D. $\sqrt {10} $

Câu 4: Cho tam giác ABC có AB = 10, AC = 12, góc A = 150o.Diện tích của tam giác ABC bằng

A. 60   

B. 30   

C. $60\sqrt 3 $   

D. $30\sqrt 3 $

Câu 5: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5. Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC bằng

A. 4   

B. 3   

C. 2   

D. 1

Câu 6: Cho tam giác ABC có a = 5, b = 6, c = 7. Diện tích của tam giác ABC bằng

A. $12\sqrt 6 $   

B. $3\sqrt 6 $

C. $6\sqrt 6 $

D. $9\sqrt 6 $

Câu 7: Cho tam giác ABC có a = 5, b = 12, c = 13. Bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác bằng

A. 13   

B. 26   

C. 6,5   

D. 7,5

Câu 8: Cho tam giác ABC có a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm. Tam giác ABC là

A. Tam giác nhọn

B. Tam giác tù

C. Tam giác vuông

D. Tam giác đều

Câu 9: Cho tam giác ABC có a2 =b2 + c2 – bc. Số đo của góc A là

A. 135o 

B. 150o 

C. 60o 

D. 120o

Câu 10: Cho tam giác ABC có a2 =b2 + c2 + $\sqrt 2 $.bc. Số đo của góc A là

A. 135o 

B. 45o 

C. 120o 

D. 150o


Xem thêm: