Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh bất đẳng thức-Kỹ thuật đánh giá từ TBC sang TBN

Bản chất: Nếu như đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá với dấu “ ≥ ”, đánh giá từ tổng sang tích, hiểu nôm na là thay dấu “ + ” bằng dấu “ . ” thì ngược lại đánh giá từ TBN sang trung bình cộng là thay dấu “ . ” bằng dấu “ + ”. Và cũng cần phải chú ý làm sao khi biến tích thành tổng, thì tổng cũng phải triệt tiêu hết biến, chỉ còn lại hằng số.

Ta có bài toán tổng quát 1

CMR: $\sqrt[n]{{{a_1}{a_2}…….{a_n}}} + \sqrt[n]{{{b_1}{b_2}…….{b_n}}} \le \sqrt[n]{{\left( {{a_1} + {b_1}} \right)\left( {{a_2} + {b_2}} \right)……..\left( {{a_n} + {b_n}} \right)}}{\rm{ }}\forall {\rm{ }}{a_i},{b_i} > 0\left( {i = \overline {1,n} } \right)$

Ví dụ 1.

CMR   $\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\le \sqrt{\left( a+c \right)\left( b+d \right)}\text{  }\forall a,b,c,d>0$  (1)

Giải

(1) <=> $\sqrt{\frac{ab}{\left( a+c \right)\left( b+d \right)}}+\sqrt{\frac{cd}{\left( a+c \right)\left( b+d \right)}}\le 1\text{  }$

Theo BĐT Côsi ta có:

$VT\le \frac{1}{2}\left( \frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c} \right)+\frac{1}{2}\left( \frac{c}{a+c}+\frac{b}{b+d} \right)=\frac{1}{2}\left( \frac{a+c}{a+c}+\frac{b+d}{b+c} \right)=\frac{1}{2}\left( 1+1 \right)=1$(đpcm)

Ví dụ 2.

CMR $\sqrt{c\left( a-c \right)}+\sqrt{c\left( b-c \right)}\le \sqrt{ab}\text{ }\forall \left\{ \begin{align}
& a>c>0 \\
& b>c>0 \\
\end{align} \right.$ (1)

Giải

Ta có (1) tương đương với : $\sqrt{\frac{c\left( a-c \right)}{ab}}+\sqrt{\frac{c\left( b-c \right)}{ab}}\le 1\text{ }$
Theo BĐT Côsi ta có:
$\sqrt{\frac{c\left( a-c \right)}{ab}}+\sqrt{\frac{c\left( b-c \right)}{ab}}\le \frac{1}{2}\left( \frac{c}{b}+\frac{\left( a-c \right)}{a} \right)+\frac{1}{2}\left( \frac{c}{a}+\frac{\left( b-c \right)}{b} \right)=\frac{1}{2}\left( \frac{a}{a}+\frac{b}{b} \right)=1$(đpcm)

Ví dụ 3.

CMR $\text{ }1+\sqrt[3]{abc}\le \sqrt[3]{\left( 1+a \right)\left( 1+b \right)\left( 1+c \right)}\text{ }\forall a,b,c\ge 0$ (1)

Giải

Ta có biến đổi sau, (1) tương đương:

$\begin{array}{l}
{\rm{ }}\sqrt[3]{{1.1.1}} + \sqrt[3]{{abc}} \le \sqrt[3]{{\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)}}{\rm{ }}\\
\Leftrightarrow \sqrt[3]{{\frac{{1.1.1}}{{\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)}}}} + \sqrt[3]{{\frac{{abc}}{{\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)}}}} \le 1
\end{array}$

Theo BĐT Côsi ta có:

$VT \le \frac{1}{3}\left[ {\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}}} \right] + \frac{1}{3}\left[ {\frac{a}{{1 + a}} + \frac{b}{{1 + b}} + \frac{c}{{1 + c}}} \right] = \frac{1}{3}\left[ {\frac{{a + 1}}{{1 + a}} + \frac{{b + 1}}{{1 + b}} + \frac{{c + 1}}{{1 + c}}} \right] = \frac{1}{3}.3 = 1$

Dấu “ = ” xảy ra <=> a = b = c > 0.

Ví dụ 4.

Chứng minh rằng: $16ab{{(a-b)}^{2}}\le {{(a+b)}^{4}}\text{      }\forall a,b>0$ 

Giải

Ta có: $16ab{(a – b)^2} = 4.(4ab){(a – b)^2} \le {\rm{4}}{\left[ {\frac{{4ab + {{(a – b)}^2}}}{2}} \right]^{\rm{2}}} = {\rm{4}}{\left[ {\frac{{{{(a + b)}^2}}}{2}} \right]^{\rm{2}}} = {(a + b)^4}$

Ví dụ 5.

Cho $\left\{ \begin{align}
& a,b,c>0 \\
& a+b+c=1 \\
\end{align} \right.\text{ }$
Chứng minh rằng $\text{ }abc\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)\le \frac{8}{729}$

Giải

Sơ đồ điểm rơi Ta nhận thấy biểu thức có tính đối xứng do đó dấu “ = ” của BĐT sẽ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

${\rm{ }}abc\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\mathop \le \limits^{C{\rm{\^o si}}} {\left[ {\frac{{a + b + c}}{3}} \right]^3}{\left[ {\frac{{\left( {a + b} \right) + \left( {b + c} \right) + \left( {c + a} \right)}}{3}} \right]^3} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^3} = \frac{8}{{729}}$

Bài tập thực hành

Bài 1. Cho $\left\{ \begin{align}
& a\ge 3 \\
& b\ge 4 \\
& c\ge 2 \\
\end{align} \right.\text{ }T\grave{i}m\text{ }Max\text{ }S\text{ }=\text{ }\frac{ab\sqrt{c-2}+bc\sqrt{a-3}+ca\sqrt{b-4}}{2\sqrt{2}}$

Bài 2. Cho x, y, z >0. Tìm Min f(x, y, z) = $\frac{{{\left( x+y+z \right)}^{6}}}{x{{y}^{2}}{{z}^{3}}}$

Bài 3. Chứng minh rằng: $\sqrt[n]{n}<1+\frac{1}{\sqrt{n}}\text{ }(1)\text{ }\forall \text{ 1}\le n\in N$

Bài 4. Chứng minh rằng:$S=1+\sqrt{\frac{2+1}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3+1}{3}}+………..+\sqrt[n]{\frac{n+1}{n}}

Bài 5. Cho $\left\{ \begin{align}
& a,b,c,d>0 \\
& a+b+c+d=1 \\
\end{align} \right.\text{ }$
Tìm Max $S=\sqrt{a+b+c}+\sqrt{b+c+d}+\sqrt{c+d+a}+\sqrt{d+a+b}$

Bài 6. Cho $\left\{ \begin{align}
& a,b,c,d>0 \\
& a+b+c+d=1 \\
\end{align} \right.\text{ }$
Tìm Max $S=\sqrt[3]{2a+b}+\sqrt[3]{2b+c}+\sqrt[3]{2c+d}+\sqrt[3]{2d+a}$

Bài 7. Cho a ≥ 2, b ≥ 6; c ≥ 12. Tìm Min $S=\frac{bc\sqrt{a-2}+ca\sqrt[3]{b-6}+ab\sqrt[4]{c-12}}{abc}$

Bài 8. Cho $\left\{ \begin{align}
& a,b,c>0 \\
& a+b+c=1 \\
\end{align} \right.\text{ }$
CMR : $\text{ }\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\text{ }\ge \text{ }\frac{9}{2}$

Bài 9. Cho $\left\{ \begin{align}
& a,b,c>0 \\
& a+b+c\le 1 \\
\end{align} \right.\text{ }$
CMR:$\frac{1}{{{a}^{2}}+2bc}+\frac{1}{{{b}^{2}}+2ca}+\frac{1}{{{c}^{2}}+2ab}\text{ }\ge \text{ }9$

—————————

Xem thêm


0 Bình luận

Trả lời

Avatar placeholder