Phương pháp giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa:

\[\left| f(x) \right|=\left\{ \begin{matrix}
f(x) \\
-f(x) \\
\end{matrix}\begin{matrix}
khi \\
khi \\
\end{matrix} \right.\begin{matrix}
f(x)\ge 0 \\
f(x)<0 \\
\end{matrix}\]

2. Dấu nhị thức bậc nhất: f(x)=ax+b

x-b/a
f(x)a.f(x)< 00a.f(x)>0

3. Dấu tam thức bậc 2: $\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)=\text{ }\mathbf{a}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}+\mathbf{bx}+\mathbf{c}$

$+)\Delta <0:af(x)>0;\forall x\in R$

$+)\Delta =0:af(x)>0;\forall x\ne -\frac{b}{2a}$

$+)\Delta >0:\left[ \begin{matrix}
a.f(x)>0;\forall x\in \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right)\cup \left( {{x}_{2}};+\infty \right) \\
a.f(x)<0;\forall x\in \left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right) \\
\end{matrix} \right.$

Với x1; x2 là nghiệm của f(x)=0 và x1<x2.

II. Một số dạng bài tập

Dạng 1: $\left| A \right| + \left| B \right| = 0$

Phương pháp:

Do: $\left| A \right| \ge 0;\left| B \right| \ge 0 \Rightarrow \left| A \right| + \left| B \right| \ge 0$

PT:$\left| A \right|+\left| B \right|=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
A=0 \\
B=0 \\
\end{matrix} \right.$

Ví dụ 1.

Giải phương trình: $\left| {{x^2} + x – 2} \right| + \left| {{x^2} – 1} \right| = 0$.

Giải

$\begin{align}
& \left| {{x}^{2}}+x-2 \right|+\left| {{x}^{2}}-1 \right|=0 \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}+x-2=0 \\
{{x}^{2}}-1=0 \\
\end{matrix} \right. \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left[ \begin{matrix}
x=1 \\
x=-2 \\
\end{matrix} \right. \\
\left[ \begin{matrix}
x=1 \\
x=-1 \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right. \\
& \Leftrightarrow x=1 \\
\end{align}$

Dạng 2: $\left| A \right|=\left| B \right|$.

Phương pháp giải:

$PT\Rightarrow {{A}^{2}}={{B}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
A=B \\
A=-B \\
\end{matrix} \right.$

Ví dụ: Giải phương trình:$\left| 2x+1 \right|=\left| x+2 \right|$

Giải

$PT\Rightarrow {{\left( 2x+1 \right)}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
2x+1=x+2 \\
2x+1=-\left( x+2 \right) \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \right.\left[ \begin{matrix}
x=1\text{ } \\
x=-1 \\
\end{matrix} \right.$

Dạng 3: $\left| A \right|=B$.

Phương pháp giải:

Cách 1: $PT\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
B\ge 0 \\
{{A}^{2}}={{B}^{2}} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
B\ge 0 \\
\left[ \begin{matrix}
A=B \\
A=-B \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.$

Cách 2: $PT\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
A\ge 0 \\
A=B \\
\end{matrix} \right. \\
\left\{ \begin{matrix}
A<0 \\
-A=B \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.$

Cách 3: $PT\Rightarrow {{A}^{2}}={{B}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
A=B \\
A=-B \\
\end{matrix} \right.$

đây là phương trình hệ quả, giải phương trình tìm nghiệm thử lại phương trình ban đầu rồi kết luận nghiệm.

Ví dụ 1:

Giải phương trình:$\left| 2x+1 \right|=x+2$

Giải:

Cách 1:

$\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 2 \ge 0}\\
{{{\left( {2x + 1} \right)}^2} = {{\left( {x + 2} \right)}^2}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ge – 2}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x + 1 = x + 2}\\
{2x + 1 = – \left( {x + 2} \right)}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ge – 2}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1{\rm{ }}}\\
{x = – 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow x = \pm 1
\end{array}$

Cách 2:

$\begin{align}
& PT\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
2x+1\ge 0 \\
2x+1=x+2 \\
\end{matrix} \right. \\
\left\{ \begin{matrix}
2x+1<0 \\
-(2x+1)=x+2 \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right. \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
x\ge -\frac{1}{2} \\
x=1(nhan) \\
\end{matrix} \right. \\
\left\{ \begin{matrix}
x<-\frac{1}{2} \\
x=-1(nhan) \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right. \\
& \Leftrightarrow x=\pm 1 \\
\end{align}$

Cách 3:

$PT\Rightarrow {{\left( 2x+1 \right)}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
2x+1=x+2 \\
2x+1=-\left( x+2 \right) \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \right.\left[ \begin{matrix}
x=1\text{ } \\
x=-1 \\
\end{matrix} \right.$

Thử nghiệm vào phương trình đầu ta được $x = \pm 1$ là nghiệm

Ví dụ 2:

Giải phương trình sau: $\left| 2-5x \right|=x+1$

Giải:
  • Trường hợp 1: $2-5x\ge 0\Leftrightarrow x\le \frac{2}{5}$

Phương trình có dạng: $2-5x=x+1\Leftrightarrow 6x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{6}$ .

Kết hợp điều kiện: $x=\frac{1}{6}$ là nghiệm (1)

  • Trường hợp 2: $2-5x<0\Leftrightarrow x>\frac{2}{5}$

Phương trình có dạng: $5x-2=x+1\Leftrightarrow 4x=3\Leftrightarrow x=\frac{3}{4}$

Kết hợp điều kiện: $x=\frac{3}{4}$ là nghiệm (2)

Từ (1) và (2) suy ra Phương trình có nghiệm : $x=\frac{1}{6};x=\frac{3}{4}$.

Dạng 4: $a{{x}^{2}}+b\left| A \right|+c=0$.

Phương pháp 1.

Khử dấu trị tuyệt đối bằng định nghĩa. Giải phương trình trên từng khoảng.

Phương pháp 2.

Biến đổi tương đương, đưa phương trình về dạng:$\left| A \right| = B$

Ví dụ 1:

Giải bất phương trình sau: ${{x}^{2}}-\left| x-3 \right|-5=0$

Giải

Cách 1. Khử trị tuyệt đối bằng định nghĩa.
  • Trường hợp 1: $x-3\ge 0\Leftrightarrow x\ge 3$

Phương trình có dạng: ${{x}^{2}}-x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=-1 \\
x=2 \\
\end{matrix} \right.$ Kết hợp điều kiện: $x=\phi $ (1).

  • Trường hợp 2: $x-3<0\Leftrightarrow x<3$

Phương trình có dạng: ${x^2} + x – 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{{ – 1 – \sqrt {33} }}{2}{\rm{\;}}}\\
{x = \frac{{ – 1 + \sqrt {33} }}{2}{\rm{\;}}}
\end{array}} \right.$

Kết hợp điều kiện: $x=\frac{-1-\sqrt{33}}{2};x=\frac{-1+\sqrt{33}}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra bất phương trình có nghiệm: $x=\frac{-1\pm \sqrt{33}}{2}$.

Cách 2. Biến đổi tương đương.

$\begin{array}{l}
PT:{x^2} – \left| {x – 3} \right| – 5 = 0\\
\Leftrightarrow \left| {x – 3} \right| = {x^2} – 5\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} – 5 \ge 0}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x – 3 = {x^2} – 5}\\
{x – 3 = – ({x^2} – 5)}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} – 5 \ge 0}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} – x – 2 = 0}\\
{{x^2} + x – 8 = 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} – 5 \ge 0(*)}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 1}\\
\begin{array}{l}
x = 2\\
x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt {33} }}{2}
\end{array}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow x = x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt {33} }}{2}
\end{array}$

Lưu ý: Khi tìm được nghiệm của các phương trình, sử dụng máy tính kiểm tra điều kiện (*). Nghiệm nào thỏa mãn thì nhận. Không nhất thiết phải giải (*).

Dạng 5: $\left| A \right|+\left| B \right|=C$ $\left| A \right|+\left| B \right|=\left| C \right|$

Phương pháp Bảng:

Áp dụng định nghĩa khử giá trị tuyệt đối bằng xét dấu biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối. Giải phương trình ứng với từng khoảng xác định.

Phương pháp 2. Bình phương 2 vế và đưa phương trình trở về dạng $\left| U \right|=V$.
Ví dụ 1:  

Giải bất phương trình sau: $\left| x-3 \right|+\left| x-1 \right|=x+1$ (*)

Giải
Trước tiên ta lưu ý:
x13
x-3|0+
x-10+|+
Bước 1. Lập bảng khử trị tuyệt đối vế trái.
x13
$\left| x-3 \right|$ 3-x23-x0x-3
$\left| x-1 \right|$ 1-x0x-12x-1
VT4-2x2222x-4
Bước 2. Từ bảng khử trị tuyệt đối ta có các trường hợp sau:

• Với $x\in \left( -\infty ;1 \right)$ :
Phương trình $(*)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\le 1 \\
4-2x=x+1 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\le 1 \\
3x=3 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\le 1 \\
x=1 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow x=1$ (1)

  • Với $1<x<3$ :

Phương trình $(*) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 < x < 3}\\ {2 = x + 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 < x < 3}\\ {x = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x = \phi $

• Với $x\ge 3$ :
Phương trình $(*)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge 3 \\
2x-4=x+1 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge 3 \\
x=5 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow x=5$ (3)

Ví dụ 2:

Giải bất phương trình: $\left| 3x-\left| x-1 \right| \right|\ge x+2$ (*)

Giải
Bước 1: Lập bảng phá trị tuyệt đối vế trái
x1/41
$\left| x-1 \right|$ 1-x|1-x0x-1
$\left| 3x-\left| x-1 \right| \right|$ |4x-1|0|4x-1|3|2x+1
VT1-4x04x-132x+1
Bước 2: Dựa vào bảng trên ta có các trường hợp sau:

* Trường hợp 1: Với $x<\frac{1}{4}$
Phương trình $(*)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x<\frac{1}{4} \\
1-4x=x+2 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x<\frac{1}{4} \\
5x=-1 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x<\frac{1}{4} \\
x=-\frac{1}{5} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow x=-\frac{1}{5}$ (1)
* Trường hợp 2: Với $\frac{1}{4}\le x<1$
Phương trình $(*)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\frac{1}{4}\le x<1 \\
4x-1=x+2 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\frac{1}{4}\le x<1 \\
3x=3 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\frac{1}{4}\le x<1 \\
x=1 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow x=\phi $ (2)
* Trường hợp 3: Với $x\ge 1$
Phương trình $(*)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge 1 \\
2x+1=x+2 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge 1 \\
x=1 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \right.x=1$ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra phương trình có nghiệm: $x=-\frac{1}{5};x=1$.

Lưu ý: Nếu các biểu thức trong dấu trị tuyệt đối là bậc 2. Ta lập bảng sử dụng dấu tam thức bậc 2.

Bài tập thực hành:

Giải phương trình sau:

1.$\left| 2x-3 \right|=x-5$

2. $\left| 7x-4 \right|=\left| 3x-4 \right|$

3. $\left| {{x}^{2}}-1 \right|=1-4x$

4. ${{x}^{2}}+5x-\left| 3x-2 \right|-5=0$

5. $\left| {{x}^{2}}-5x-4 \right|=2-4x$


Download tài liệu: PDF-Tại đây Worrd-Tại đây

———————-

Xem thêm:

  • Phương pháp giải phương trình có ẩn dưới dấu căn bậc hai.

———————–