Phương pháp tính tích phân.p1

Tích phân bằng đổi biến loại 1

Định lý:

Nếu
1) Hàm $x=u(t)$ có đạo hàm liên tục $\left[ \alpha ;\,\,\beta \right]$,

2) Hàm số $f(u(t))$ được xác định trên $\left[ \alpha ;\,\,\beta \right]$,

3) $u(\alpha )=a,\,\,u(\beta )=b$,
thì $I=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{f(u(t)){{u}^{‘}}(t)dt}$.

Phương pháp

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right]$ có nguyên hàm là $F(x)$.

Giả sử $u(x)$ là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn $\left[ \alpha ,\beta  \right]$ và có miền giá trị là $\left[ a;b \right]$ thì ta có :

$\int{f\left[ u(x) \right]}.u'(x)dx=F(x)\left[ u(x) \right]+C$

Đổi biến  $t=\varphi (x)$, rút x theo t.

+) Xác định vi phân: $dx=\varphi ‘(t)dt$

+) Biểu thị  f(x)dx theo t  và dt. Giả sử $f(x)dx=g(t)dt$. Khi đó $I=\int{g(t)dt}$

Dấu hiệu đặt ẩn phụ

Dấu hiệu	Quy tắc
Hàm số có mẫu	Đặt t là mẫu
Hàm $f(x,\,\sqrt{\varphi (x)})$	Đặt $t=\varphi (x)$
Hàm $f(x,\sqrt[n]{\varphi (x)},\sqrt[m]{\varphi (x)})$	Đặt $t=\tan \frac{x}{2}$
Hàm lẻ với sinx	Đặt $t=\cos x$
Hàm lẻ với cosx	Đặt $t=\operatorname{s}\text{inx}$
Hàm chẵn với sinx và cosx	Đặt t =tanx
Hàm $f(x)=\frac{\text{a}\sin x+b\cos x}{c\sin x+d\cos x+e}$	Đặt $t=\tan \frac{x}{2}$

Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1

Tính: ${I_1} = \int\limits_0^1 {\frac{{xdx}}{{{x^2} + 1}}} $

Giải

Đặt  $t={{x}^{2}}+1\quad \Rightarrow \quad dt=2xdx\quad \Rightarrow \quad xdx=\frac{dt}{2}$

Đổi cận : $\left\{ \begin{align}
& x=0\to t=1 \\
& x=1\to t=2 \\
\end{align} \right.$

Vậy: ${I_1} = \int\limits_1^2 {\frac{{xdx}}{{{x^2} + 1}} = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{dt}}{t} = \frac{1}{2}\left. {\ln t} \right|} } _1^2 = \frac{1}{2}\ln 2$

Ví dụ 2

Tính: ${I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}dx}}{{{e^x} – 1}}} $

Giải

Đặt:  $t={{e}^{x}}-1\quad \Rightarrow \quad dt={{e}^{x}}dx\quad $

Đổi cận :$\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 \to t = e – 1\\
x = 2 \to t = {e^2} – 1
\end{array} \right.$

Vậy :  ${{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{e}^{x}}dx}{{{e}^{x}}-1}}=\int\limits_{e-1}^{{{e}^{2}}-1}{\frac{dt}{t}=\left. \ln t \right|}_{e-1}^{{{e}^{2}}-1}=\ln (e+1)$

Ví dụ 3

Tinh: ${I_3} = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + \ln x} dx}}{x}} $

Giải

Đặt:  ${{t}^{{}}}=1+\ln x\quad \Rightarrow \quad tdt=\frac{1}{x}dx\quad $

Đổi cận : $\left\{ \begin{align}
& x=1\to t=1 \\
& x=e\to t=2 \\
\end{align} \right.$

${I_3} = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + \ln x} dx}}{x}} = \int\limits_1^2 {\sqrt t dt = \frac{2}{3}\left. {{t^{\frac{3}{2}}}} \right|} _1^2 = \frac{2}{3}(2\sqrt 2 – 1)$

Ví dụ 4.

Tính: ${I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{5}}}x.dx = }$

Giải

${I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{5}}}x.dx = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{4}}}x.c{\rm{osx}}.dx} $

$ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{(1 – {{\sin }^2}x)}^2}d(\sin x)} $

$ = \left( {\frac{1}{5}{{\sin }^5}x – \frac{{2{{\sin }^3}x}}{3} + \sin x} \right)\left| \begin{array}{l}
\frac{\pi }{2}\\
0
\end{array} \right. = \frac{8}{{15}}$

Ví dụ 5.

Tính: $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}x.dx} $

Giải

$I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}x.dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {(1 + c{\rm{os2x)}}{\rm{.dx}}} $

$ = \frac{1}{2}\left( {x + \frac{1}{2}\sin 2x} \right)\left| \begin{array}{l}
\frac{\pi }{2}\\
0
\end{array} \right. = \frac{\pi }{4}$

Ví dụ 6

Tính: $I = \int\limits_0^1 {{x^2}\sqrt {{x^3} + 5} dx}$

Giải

Ta có: $d\left( {{x}^{3}}+5 \right)=3{{x}^{2}}dx\Rightarrow \frac{d\left( {{x}^{3}}+5 \right)}{3}={{x}^{2}}dx$

$ \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\sqrt {{x^3} + 5} \frac{{d\left( {{x^3} + 5} \right)}}{3}} $

$\begin{array}{l}
= \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {{{\left( {{x^3} + 5} \right)}^{\frac{1}{2}}}d({x^3} + 5)} \\
= \frac{1}{3}\frac{{{{({x^3} + 5)}^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}}\left| \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right.\\
= \frac{2}{9}({x^3} + 5)\sqrt {{x^3} + 5} \left| \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right.
\end{array}$
$ = \frac{4}{3}\sqrt 6 – \frac{{10}}{9}\sqrt 5 $

Chúc các bạn thành công!

———————–

Download tài liệu: PDF-tại đây Word: tại đây.

——————

Xem thêm:

• Phương pháp tính tích phân
• Phương pháp tính tích phân từng phần
• Phương pháp tính tích phân bằng đổi biến loại 1
• Phương pháp tính tích phân bằng đổi biến loại 2
• Phương pháp tính tích phân bằng nhân liên hợp
• Phương pháp tính tích phân hàm dưới dấu trị tuyệt đối
• Phương pháp tính tích phân các hàm có dạng đặc biệt
• Một số dạng thường gặp trong tính tich phân
• Ứng dụng tich phân vào tính thể tích
• Ứng dụng tích phân vào tính diện tích hình phẳng

———————–