Thể tích Khối chóp tam giác đều khi biết cạnh đáy a và cạnh bên hợp đáy góc α

Thể tích Khối Chóp Tam Giác Đều khi biết cạnh đáy a và cạnh bên hợp đáy một góc α.

Đặc điểm-tính chất:

+ Tất cả các cạnh bên đều bằng nhau và hợp đáy một góc bằng nhau.

+ Tất cả các mặt bên đều là các tam giác cân tại S bằng nhau và hợp đáy một góc bằng nhau.

+ G là trọng tâm của tam giác đáy và SG $ \bot $ (ABC), suy ra: chiều cao h=SG.

Công thức thể tích tổng quát:

${S_d} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.
$AG = \frac{2}{3}AD = \frac{2}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
$h = AG.\tan \alpha = \frac{{a\sqrt 3 \tan \alpha }}{3}$
$V = \frac{1}{3}{S_d}.h = \frac{1}{3}\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\frac{{a\sqrt 3 \tan \alpha }}{3} = \frac{{{a^3}\tan \alpha }}{{12}}$
Vậy: $V = \frac{{{a^3}\tan \alpha }}{{12}}$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng $2a\sqrt 3 $, cạnh bên bằng hợp đáy góc 60^0. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Giải

${S_d} = \frac{{{{\left( {2a\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = 3{a^2}\sqrt 3 $
$AG = \frac{2}{3}AD = \frac{2}{3}\frac{{\left( {2a\sqrt 3 } \right)\sqrt 3 }}{2} = 2a$
$h = AG.\tan {60^0} = 2a\sqrt 3 $.
$V = \frac{1}{3}{S_d}.h = \frac{1}{3}.3{a^2}\sqrt 3 .2a\sqrt 3 = 6{a^3}$

Áp dụng công thức cho trắc nghiệm:$V = \frac{{{{\left( {2a\sqrt 3 } \right)}^3}\tan {{60}^0}}}{{12}} = 6{a^3}$.

Bài viết liên quan