Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai
Kỹ thuật đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại 1
Phương pháp
Đặt $u=\alpha \left( x \right),v=\beta \left( x \right)$ và tìm mối quan hệ giữa $\alpha \left( x \right)$ và $\beta \left( x \right)$ từ đó tìm được hệ theo u,v
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1.
Giải phương trình: $x\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}}\left( x+\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}} \right)=30$
Giải
Đặt: $y=\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}}\Rightarrow {{x}^{3}}+{{y}^{3}}=35$
Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}{l}
xy(x + y) = 30\\
{x^3} + {y^3} = 35
\end{array} \right.$
Giải hệ này ta tìm được $(x;y)=(2;3)=(3;2)$.
Tức là nghiệm của phương trình là $x\in \{2;3\}$
Ví dụ 2.
Giải phương trình sau: $x+\sqrt{5+\sqrt{x-1}}=6$
Giải
Điều kiện: $x\ge 1$
Đặt $a=\sqrt{x-1},\,\,b=\sqrt{5+\sqrt{x-1}}(a\ge 0,b\ge 0)$ thì ta đưa về hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + b = 5\\
{b^2} – a = 5
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow (a + b)(a – b + 1) = 0$
Do : a+b>0. suy ra: $ \Rightarrow a – b + 1 = 0 \Leftrightarrow a +1= b$.
Phương trình tương đương:
$\begin{array}{l}
\sqrt {x – 1} + 1 = \sqrt {5 + \sqrt {x – 1} } \\
\Leftrightarrow \sqrt {x – 1} = 5 – x\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \le 5}\\
{x – 1 = {{\left( {5 – x} \right)}^2}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \le 5}\\
{{x^2} – 11x + 26 = 0}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \le 5}\\
{x = \frac{{11 \pm \sqrt {17} }}{2}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow x = \frac{{11 – \sqrt {17} }}{2}
\end{array}$
Ví dụ 3.
Giải phương trình: $\frac{6-2x}{\sqrt{5-x}}+\frac{6+2x}{\sqrt{5+x}}=\frac{8}{3}$
Giải
Điều kiện: $-5<x<5$
Đặt $u=\sqrt{5-x},v=\sqrt{5-y}\,\,\left( 0<u,v<\sqrt{10} \right)$.
Khi đó ta được hệ phương trình:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{u^2} + {v^2} = 10\\
– \frac{4}{u} – \frac{4}{v} + 2(u + z) = \frac{8}{3}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{(u + v)^2} = 10 + 2uv\\
(u + v)\left( {1 – \frac{2}{{uv}}} \right) = \frac{4}{3}
\end{array} \right.
\end{array}$
Giải hệ này ta được nghiệm phương trình đã cho.
Ví dụ 4.
Giải phương trình: $\sqrt{\sqrt{2}-1-x}+\sqrt[4]{x}=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$
Giải
Điều kiện: $0\le x\le \sqrt{2}-1$
Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {\sqrt 2 – 1 – x} = u\\
\sqrt[4]{x} = v
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow 0 \le u \le \sqrt {\sqrt 2 – 1} ,0 \le v \le \sqrt[4]{{\sqrt 2 – 1}}$
Ta đưa về hệ phương trình sau:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
u + v = \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}\\
{u^2} + {v^4} = \sqrt 2 – 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u = \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}} – v\\
{\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{2}}} – v} \right)^2} + {v^4} = \sqrt 2 – 1
\end{array} \right.
\end{array}$
Giải phương trình thứ 2: ${{({{v}^{2}}+1)}^{2}}-{{\left( v+\frac{1}{\sqrt[4]{2}} \right)}^{2}}=0$
Từ đó tìm ra $v$ rồi thay vào tìm nghiệm của phương trình.
————————-
Download tài liệu:
PDF: tại đây.
Word: Tại đây.
————————–
Xem thêm:
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai-kỹ thuật sử dụng đạo hàm
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai-kỹ thuật nhân liên hợp
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai-kỹ thuật đổi biến đưa về hệ đối xứng loại 1
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai-kỹ thuật đổi biến đưa về hệ đối xứng loại 2
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai-kỹ thuật đưa về tích, nhóm nhâ tử chung
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai-kỹ thuật đổi biến đưa về phương trình thuần nhất bậc hai hai biến
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai-kỹ thuật sử dụng Hằng số biến thiên
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai-Kỹ thuật đổi biến đưa về hệ
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai-kỹ thuật đổi biến không hoàn toàn
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai-Tổng hợp một số kỹ thuật thường gặp
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai- Dạng cơ bản
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai-Dạng $\sqrt A = B$
—————————-
I
0 Bình luận