Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai-Kỹ thuật đưa về phương trình tích

Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

Kỹ thuật đưa về phương trình tích

Phương pháp

Sử dụng đẳng thức nhóm nhân tử chung.

$u+v=1+uv\Leftrightarrow \left( u-1 \right)\left( v-1 \right)=0$
$au+bv=ab+vu\Leftrightarrow \left( u-b \right)\left( v-a \right)=0$
$\sqrt{ax+b}\pm \sqrt{cx+d}=\frac{\left( a-c \right)x+\left( b-d \right)}{m}$
${{A}^{2}}={{B}^{2}}\Leftrightarrow (A-B)(A+B)=0$
${a^3} – {b^3} \Leftrightarrow (a – b)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) = 0$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.

Giải phương trình : $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=1+\sqrt[3]{{{x}^{2}}+3x+2}$

Giải:

$pt \Leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{{x + 1}} – 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{x + 2}} – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = – 1
\end{array} \right.$

Ví dụ 2.

Giải phương trình : $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}}=\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}+x}$

Giải:

+) $x=0$, không phải là nghiệm +) $x\ne 0$, ta chia hai vế cho x:

$\begin{array}{l}
\sqrt[3]{{\frac{{x + 1}}{x}}} + \sqrt[3]{x} = 1 + \sqrt[3]{{x + 1}}\\
\Leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{{\frac{{x + 1}}{x}}} – 1} \right)\left( {\sqrt[3]{x} – 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow x = 1
\end{array}$

Ví dụ 3.

Giải phương trình: $\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$

Giải:

Điều kiện:$x\ge -1$

$PT \Leftrightarrow \left( {\sqrt {x + 3} – 2x} \right)\left( {\sqrt {x + 1} – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 0
\end{array} \right.$

Ví dụ 4.

Giải phương trình : $\sqrt{x+3}+\frac{4x}{\sqrt{x+3}}=4\sqrt{x}$

Giải:

Đk: $x\ge 0$ Chia cả hai vế cho $\sqrt{x+3}$:

$\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow 1 + \frac{{4x}}{{x + 3}} = 2\sqrt {\frac{{4x}}{{x + 3}}} \\
\Leftrightarrow {\left( {1 – \sqrt {\frac{{4x}}{{x + 3}}} } \right)^2} = 0\\
\Leftrightarrow x = 1
\end{array}$

Ví dụ 5.

Giải phương trình : $\sqrt{\sqrt{3}-x}=x\sqrt{\sqrt{3}+x}$

Giải:

Điều kiện: $0\le x\le \sqrt{3}$.

Khi đó pt đã cho tương đương :

$\begin{array}{l}
{x^3} + \sqrt 3 {x^2} + x – \sqrt 3 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^3} = \frac{{10}}{{3\sqrt 3 }}\\
\Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt[3]{{10}} – 1}}{{\sqrt 3 }}
\end{array}$

Ví dụ 6.

Giải phương trình sau :$2\sqrt{x+3}=9{{x}^{2}}-x-4$

Giải:

Điều kiện:$x\ge -3$.

Phương trình tương đương:

$\begin{array}{l}
{\left( {1 + \sqrt {3 + x} } \right)^2} = 9{x^2}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 3} + 1 = 3x\\
\sqrt {x + 3} + 1 = – 3x
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = \frac{{ – 5 – \sqrt {97} }}{{18}}
\end{array} \right.
\end{array}$

Ví dụ 7.

Giải phương trình sau : $2+3\sqrt[3]{9{{x}^{2}}\left( x+2 \right)}=2x+3\sqrt[3]{3x{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$

Giải

Pttt $\Leftrightarrow {{\left( \sqrt[3]{x+2}-\sqrt[3]{3x} \right)}^{3}}=0\Leftrightarrow x=1$

Bài tập thực hành

————————-

Download tài liệu:

PDF: tại đây.

Word: Tại đây.

————————–

Xem thêm:

———————-

User

Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai-Kỹ thuật đưa về phương trình tích

Đăng bởi ADMIN vào 17/12/201917/12/2019